《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

7. 解方程组$\begin{cases}ax + by = 6,\\x + cy = 4\end{cases}$时，甲同学因看错$a$的符号，从而求得方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$，乙因看漏$c$，从而求得方程组的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = -2\end{cases}$，试求$2a - b + 4c$的值.

答案： 【解】因为甲同学看错$a$的符号， 所以把$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$x + cy = 4$，解得$c=\frac{1}{2}$， 把$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$-ax + by = 6$，得$-3a + 2b = 6$。 把$\begin{cases}x = 6\\y = -2\end{cases}$代入$ax + by = 6$，得$6a - 2b = 6$， 联立$\begin{cases}-3a + 2b = 6\\6a - 2b = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 9\end{cases}$。 所以$2a - b + 4c = 2×4 - 9 + 4×\frac{1}{2}=1$。

8. 甲、乙两人都解方程组$\begin{cases}ax + y = 2①,\\2x - by = 1②,\end{cases}$甲看错了方程①中的$a$，解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$乙看错了方程②中的$b$，解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$求方程组正确的解.

答案： 【解】因为在解方程组$\begin{cases}ax + y = 2,①\\2x - by = 1②\end{cases}$时，甲看错了方程①中的$a$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$， 所以$2×1 - 2b = 1$，解得$b=\frac{1}{2}$， 因为乙看错了方程②中的$b$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，所以$a + 1 = 2$，解得$a = 1$， 所以原方程组为$\begin{cases}x + y = 2,①\\2x-\frac{1}{2}y = 1,②\end{cases}$由①，得$x = 2 - y$，③ 把③代入②，得$2(2 - y)-\frac{1}{2}y = 1$，解得$y=\frac{6}{5}$，把$y=\frac{6}{5}$代入③，得$x = 2-\frac{6}{5}=\frac{4}{5}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{4}{5}\\y=\frac{6}{5}\end{cases}$。

9. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$求关于$a,b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5,\\2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$的解.

答案： 【解】因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$， 所以关于$a$，$b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5\\2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$的解满足$\begin{cases}a + b = 1\\a - b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}$，即所求方程组的解为$\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}$。

10. 已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13,\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = 8.3,\\b = 1.2,\end{cases}$求关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2(x - 2)=13 + 3(y + 1),\\3(x - 2)=30.9 - 5(y + 1)\end{cases}$的解.

答案： 【解】因为方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = 8.3\\b = 1.2\end{cases}$， 所以方程组$\begin{cases}2(x - 2)-3(y + 1)=13\\3(x - 2)+5(y + 1)=30.9\end{cases}$的解满足$\begin{cases}x - 2 = 8.3\\y + 1 = 1.2\end{cases}$， 解得$\begin{cases}x = 10.3\\y = 0.2\end{cases}$。