《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

13. 我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知∠ACD 是△ABC 的一个外角（如图①），则∠ACD = ∠A + ∠B.
(1) 如图②，线段 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8 字型”，请仔细观察该图形，写出∠A，∠B，∠C，∠D 之间的数量关系：__________；
(2) 如图③，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF = 120°，运用（1）中得出的数量关系，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F 的度数.

答案：
∠A+∠C = ∠B+∠D@@【解】
(2)连接EF，如图， 由
(1)的结论可得：∠B+∠C = ∠EFO+∠FEO = ∠BOF = 120°，∠A + ∠D = ∠EFD+∠FEA，
∵∠EFD = ∠EFO - ∠CFD，∠FEA = ∠FEO - ∠AEB，
∴∠A+∠D = ∠EFO - ∠CFD+∠FEO - ∠AEB = 120° - ∠CFD - ∠AEB， 即∠A+∠D+∠CFD+∠AEB = 120°。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD = 240°。

14. (1) 如图①，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A = 80°，求∠BOC 的度数；
(2) 如图②，∠CBO = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO = $\frac{1}{3}$∠ACB，∠A = α，求∠BOC 的度数（用含 α 的表示）；
【拓展研究】
(3) 如图③，∠CBO = $\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO = $\frac{1}{3}$∠ECB，∠A = 84°，求∠BOC 的度数；
(4) BO，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的 n 等分线，它们交于点 O，∠CBO = $\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO = $\frac{1}{n}$∠ECB，∠A = α，请直接写出∠BOC 的度数（用含 α 的式子表示）.

答案： 【解】
(1)
∵∠A = 80°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 100°。
∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)= 50°。
∴∠BOC = 130°。
(2)∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)= 180°-$\frac{1}{3}$(∠ABC+∠ACB)= 180°-$\frac{1}{3}$(180° - ∠A)= 120°+$\frac{1}{3}$α。
(3)
∵∠CBO = $\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO = $\frac{1}{3}$∠ECB，∠A = 84°，
∴∠BOC = 180°-$\frac{1}{3}$(∠DBC + ∠ECB)= 180°-$\frac{1}{3}$[360°-(∠ABC + ∠ACB)]= 180°-$\frac{1}{3}$[360°-(180° - ∠A)]= 180°-$\frac{1}{3}$×(180° + 84°)= 92°。
(4)∠BOC = $\frac{180°(n - 1)-α}{n}$。