《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. [2024·青岛市北区月考] 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B = 70°，∠C = 30°.
(1)∠BAE = ________；
(2)分别求出∠DAE与∠DEA的度数.

答案： 【解】
(1)$40^{\circ}$
(2)$\because\angle B = 70^{\circ},\angle C = 30^{\circ},\therefore\angle BAC = 80^{\circ}$. $\because AD\perp BC,\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$. $\because$在直角三角形$ACD$中，$\angle DAC = 90^{\circ}-\angle C = 60^{\circ}$. $\because AE$平分$\angle BAC,\therefore\angle EAC = 40^{\circ}$. $\therefore\angle DAE=\angle DAC - \angle EAC = 20^{\circ}$. $\therefore\angle DEA = 90^{\circ}-\angle DAE = 90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$. 

2. 新视角 探究题 (1) 如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C. 在△ABC中，∠A = 30°，则∠ABC + ∠ACB = ________，∠XBC + ∠XCB = ________；
(2)在(1)的条件下，如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX + ∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX + ∠ACX的大小.

答案： 【解】
(1)$150^{\circ};90^{\circ}$
(2)不变化. $\because\angle A = 30^{\circ},\therefore\angle ABC+\angle ACB = 150^{\circ}$. $\because\angle X = 90^{\circ},\therefore\angle XBC+\angle XCB = 90^{\circ}$. $\therefore\angle ABX+\angle ACX = (\angle ABC - \angle XBC)+(\angle ACB - \angle XCB)=(\angle ABC+\angle ACB)-(\angle XBC+\angle XCB)=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$. 

3. [2024·滨州邹平市期末] 现有一张△ABC纸片，D，E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，点A落在点A'处.
(1)如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是________；
(2)如果折成图②的形状，猜想∠1 + ∠2与∠A的数量关系是________；
(3)如果折成图③的形状，猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由.

答案：
【解】
(1)$\angle 1 = 2\angle A$
(2)$\angle 1+\angle 2 = 2\angle A$ 【点拨】由折叠的性质得$\angle ADE=\angle A'DE,\angle AED=\angle A'ED$.$\because\angle ADB+\angle AEC = 360^{\circ}$, $\therefore\angle 1+\angle 2 = 360^{\circ}-\angle ADE-\angle A'DE-\angle AED-\angle A'ED = 360^{\circ}-2\angle ADE - 2\angle AED = 360^{\circ}-2(\angle ADE+\angle AED)$.$\because\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}-\angle A$, $\therefore\angle 1+\angle 2 = 2\angle A$.
(3)$\angle 2-\angle 1 = 2\angle A$.理由如下：如图， $\because\angle 2=\angle AFE+\angle A,\angle AFE=\angle A'+\angle 1$,由折叠的性质得$\angle A=\angle A'$.$\therefore\angle 2=\angle A'+\angle 1+\angle A = 2\angle A+\angle 1$.$\therefore\angle 2-\angle 1 = 2\angle A$.