《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

12. 若 $(m + 2)x^{|m| - 1}+y^{2n + m}=5$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程，则 $m =$ ________，$n =$ ________.

答案： 2@@-$\frac{1}{2}$

13. [新考法 逐项判断法] 若关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 4\\□ = 2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$，则“□”可以表示为 （ ）
A. $x$
B. $x^{2}-3y$
C. $y - x$
D. $x - y$

答案： C

14. 为提高学生的学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学们购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A. 5种
B. 6种
C. 7种
D. 8种

答案： C

15. [新考向 数学文化] 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的解法：
甲同学：设每头牛值金 $x$ 两，则可列方程为 $\frac{10 - 5x}{2}\times5 + 2x = 8$；
乙同学：设每头牛值金 $x$ 两，每只羊值金 $y$ 两，则可列方程组为 $\begin{cases}5x + 2y = 10\\2x + 5y = 8\end{cases}$.
对于两位同学的解法，判断正确的是（ ）
A. 两人都对
B. 两人都不对
C. 甲对，乙不对
D. 乙对，甲不对

答案： A

16. 已知方程组 $\begin{cases}3x - y^{|m - 2 + n|}-1 = 0\\(m + 1)x^{3n + m + 2}+2 = 0\end{cases}$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程组，则 $2m + 4n$ 的值为 ________.

答案： 2或0

17. [新考法 整体代入法] 若 $\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$ 是二元一次方程 $ax + by = - 2$ 的一个解，则 $3a - 2b + 2025$ 的值为 ________.

答案： 2023

18. 已知方程 $(m^{2}-4)x^{2}+(m + 2)x+(m + 1)y = m + 5$.
(1) 当 $m$ 为何值时，它是一元一次方程？
(2) 当 $m$ 为何值时，它是二元一次方程？

答案： 【解】
(1)依题意，得有两种情况：①$m^{2}-4 = 0$且$m + 2 = 0$，所以$m=-2$；②$m^{2}-4 = 0$且$m + 1 = 0$，无解.综上，当$m=-2$时，它是一元一次方程.
(2)依题意，得$m^{2}-4 = 0$且$m + 2\neq0$，$m + 1\neq0$，解得$m = 2$，即当$m = 2$时，它是二元一次方程.

19. [新考法 换元法] 三位同学对问题“若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 5\\y = 6\end{cases}$，求方程组 $\begin{cases}5a_{1}x + 3b_{1}y = 4c_{1}\\5a_{2}x + 3b_{2}y = 4c_{2}\end{cases}$ 的解”提出各自的想法. 甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解.”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试.”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决.”，参照他们的讨论，求解这个问题.

答案： 【解】将待求方程组中的两个方程的两边都同时除以4， 得$\begin{cases}\frac{5}{4}a_{1}x+\frac{3}{4}b_{1}y = c_{1},\\\frac{5}{4}a_{2}x+\frac{3}{4}b_{2}y = c_{2}.\end{cases}$ 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}\frac{5}{4}x = 5,\\\frac{3}{4}y = 6.\end{cases}$所以$\begin{cases}x = 4,\\y = 8.\end{cases}$