《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

11.（10分）母题 教材P61复习题T4 直线a，b，c，d的位置如图所示，已知∠1 = 58°，∠2 = 58°，∠3 = 70°，求∠4的度数.

答案：
【解】如图所示。
∵∠1 = 58°，∠2 = 58°，
∴∠1 = ∠2。
∴a//b。
∴∠5 = ∠3 = 70°。
∴∠4 = 180° - ∠5 = 110°。

12.（16分）如图，有三个论断：
①∠1 = ∠2；②∠B = ∠C；③AB//CD.
（1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明.

答案： （1）【解】选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1 = ∠2，∠B = ∠C，则AB//CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1 = ∠2，AB//CD，则∠B = ∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B = ∠C，AB//CD，则∠1 = ∠2，该命题是真命题。 （2）【证明】（任选其一即可）选择①②为题设，③为结论。
∵∠1 = ∠2，∠1 = ∠CGD，
∴∠2 = ∠CGD。
∴CE//BF。
∴∠C = ∠BFD。 又
∵∠B = ∠C，
∴∠B = ∠BFD。
∴AB//CD。 选择①③为题设，②为结论。
∵∠1 = ∠2，∠1 = ∠CGD，
∴∠2 = ∠CGD。
∴CE//BF。
∴∠C = ∠BFD。
∵AB//CD，
∴∠B = ∠BFD。
∴∠B = ∠C。 选择②③为题设，①为结论。
∵AB//CD，
∴∠B = ∠BFD。 又
∵∠B = ∠C，
∴∠C = ∠BFD。
∴CE//BF，
∴∠2 = ∠CGD。又
∵∠1 = ∠CGD，
∴∠1 = ∠2。

13.（20分）情境题 生活应用 如图①是台球桌面实物图，图②是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，一个球从桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D，在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3 = ∠4.
（1）如图②，求证：EF//GD；
（2）如图③，若球在桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，请你判断EF与GH的位置关系，并说明理由.

答案： （1）【证明】由题意得AD//BC，
∴∠2 = ∠3。 又
∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4。
∵∠EFG = 180° - （∠1 + ∠2），∠FGD = 180° - （∠3 + ∠4），
∴∠EFG = ∠FGD。
∴EF//DG。 （2）【解】EF//GH。理由如下：由题意可知∠EFB = ∠GFC，∠FGC = ∠HGD。
∵∠CFG + ∠CGF = 90°，
∴∠EFB + ∠GFC + ∠FGC + ∠HGD = 180°。
∵∠HGF = 180° - （∠DGH + ∠CGF），∠EFG = 180° - （∠EFB + ∠GFC），
∴∠HGF + ∠EFG = 180° - （∠DGH + ∠CGF） + 180° - （∠EFB + ∠GFC） = 360° - （∠DGH + ∠CGF + ∠EFB + ∠GFC） = 180°。
∴EF//GH。