《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

12. (14分)解方程组：
(1)$\begin{cases}3x - 4y = -6,①\\2x + 3y = 13;②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6,①\\4(x + y) - 5(x - y) = 2.②\end{cases}$

答案： 【解】
(1) ①×3 + ②×4，得 $17x = 34$，解得 $x = 2$，把 $x = 2$ 代入①，得 $3×2 - 4y = -6$，解得 $y = 3$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$。
(2) 整理得 $\begin{cases}5x + y = 36, ③ \\ -x + 9y = 2, ④ \end{cases}$ ③ + ④×5，得 $46y = 46$，解得 $y = 1$，把 $y = 1$ 代入③，得 $5x + 1 = 36$，解得 $x = 7$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 7 \\ y = 1 \end{cases}$。

13. (18分)在解方程组$\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$时，由于粗心，甲看错了方程组中的$a$，得解为$\begin{cases}x = \frac{7}{2},\\y = -2\end{cases}$；乙看错了方程组中的$b$，得解为$\begin{cases}x = 3,\\y = -7\end{cases}$.
(1)甲把$a$错看成了什么？乙把$b$错看成了什么？
(2)求出原方程组的正确解.

答案： 【解】
(1) 将 $\begin{cases}x = \frac{7}{2} \\ y = -2 \end{cases}$ 代入方程组 $\begin{cases}2ax + y = 5 \\ 2x - by = 13 \end{cases}$，得 $\begin{cases}7a - 2 = 5 \\ 7 + 2b = 13 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 1 \\ b = 3 \end{cases}$。 将 $\begin{cases}x = 3 \\ y = -7 \end{cases}$ 代入方程组 $\begin{cases}2ax + y = 5 \\ 2x - by = 13 \end{cases}$，得 $\begin{cases}6a - 7 = 5 \\ 6 + 7b = 13 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$。 所以甲把 $a$ 错看成了 1，乙把 $b$ 错看成了 1。
(2) 根据
(1)得正确的 $a = 2$，$b = 3$，则原方程组为 $\begin{cases}4x + y = 5 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 2 \\ y = -3 \end{cases}$。

14. (20分)某品牌推出的某人偶摆件一上市就深受人们喜爱. 已知3个$A$型摆件和4个$B$型摆件的售价是470元；2个$A$型摆件和3个$B$型摆件的售价是340元.
(1)求一个$A$型摆件和一个$B$型摆件的售价各是多少元.
(2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买$A$型、$B$型这两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件的价格进行调整，其中$A$型摆件的售价上涨40％，$B$型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？

答案： 【解】
(1) 设一个 $A$ 型摆件的售价是 $x$ 元，一个 $B$ 型摆件的售价是 $y$ 元，根据题意得 $\begin{cases}3x + 4y = 470 \\ 2x + 3y = 340 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 50 \\ y = 80 \end{cases}$。 所以一个 $A$ 型摆件的售价是 50 元，一个 $B$ 型摆件的售价是 80 元。
(2) 设购买 $A$ 型摆件 $a$ 个，$B$ 型摆件 $b$ 个，根据题意得 $50×(1 + 40\%)×a + 80b = 1600$，整理，得 $7a + 8b = 160$，即 $a = \frac{8(20 - b)}{7}$。 因为 $a$，$b$ 均为正整数，所以易得 $b$ 可以为 6 和 13，所以 $a$ 可以为 16 和 8。 故小李有两种购买方案，第一种：购买 $A$ 型摆件 16 个，$B$ 型摆件 6 个；第二种：购买 $A$ 型摆件 8 个，$B$ 型摆件 13 个。