《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

9. 已知方程组$\begin{cases}2x + 3y = 7,\\kx+(k - 1)y = 5\end{cases}$的解中，$x$的值比$y$的值大1，则$k$的值为 （ ）
A. - 2
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C

10. [2024·枣庄山亭区月考] 若$\sqrt{x + 2y}$与$\vert x + y - 2\vert$互为相反数，则$xy =$________.

答案： - 8

11. 新视角 新定义题 对有理数$x,y$定义新运算，$x\otimes y = ax + by + 1$，其中$a,b$是常数. 若$2\otimes(-1)= - 3,3\otimes3 = 4$，则$a =$________，$b =$________.

答案： - 1@@2

12. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知$A(-2,6)$，则点$B$的坐标为________.

答案： $(-\frac{20}{3},\frac{14}{3})$

13. 已知正数$a$的两个平方根$x,y$为方程$4x - 3y = 28$的一个解，求$a$的值.

答案： 【解】由题意得x + y = 0，所以y = - x。 将y = - x代入4x - 3y = 28，得4x + 3x = 28， 解得x = 4。所以a = x² = 16。

14. 新考法 同解交换法 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x - y = 5,\\ax + by = - 1\end{cases}$与$\begin{cases}3x + y = 9,\\3ax - 4by = 18\end{cases}$的解相同，求$a^{2}+b^{2}-2ab$的值.

答案： 【解】因为关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}4x - y = 5\\ax + by = - 1\end{cases}$与$\begin{cases}3x + y = 9\\3ax - 4by = 18\end{cases}$的解相同， 所以$\begin{cases}4x - y = 5\\3x + y = 9\end{cases}$的解即为两个方程组的解， 解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$。 所以$\begin{cases}6a - 12b = 18\\2a + 3b = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 1\end{cases}$， 所以a² + b² - 2ab=(a - b)²=(1 + 1)² = 4。 

15. 我们可用代入法解方程组$\begin{cases}3x - 4y = 7,\\5x - 8y = 9,\end{cases}$小安和小佳两位同学运用了“整体代入”的思想，具体的解法分别如下：
| | 小安的解法 | 小佳的解法 |
| ---- | ---- | ---- |
| 解 | 由$3x - 4y = 7$，得$4y = 3x - 7$，
由$5x - 8y = 9$，得$5x - 2\cdot4y = 9$，
把$4y = 3x - 7$代入，
得$5x - 2(3x - 7)=9$，
解得$x = 5$.
把$x = 5$代入$4y = 3x - 7$，解得$y = 2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 2\end{cases}$ | 解：由$5x - 8y = 9$，得$2(3x - 4y)-x = 9$，
把方程$3x - 4y = 7$代入，得$14 - x = 9$，
解得$x = 5$.
把$x = 5$代入$3x - 4y = 7$，解得$y = 2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 2\end{cases}$ |
(1)小安的解法________，小佳的解法________（填“正确”或“不正确”）.
(2)如果你认为这两种解法都正确，请选择其中一种解法解方程组$\begin{cases}4x - 7y = - 8,\\2x + 5y = 13.\end{cases}$如果你认为两种解法只有一种正确，请尝试用你认为正确的解法解方程组$\begin{cases}4x - 7y = - 8,\\2x + 5y = 13.\end{cases}$并说明另一种解法不正确的理由；如果你认为两种解法都不正确，请分别说明理由.

答案： 【解】 - （1）正确；正确 - （2）选择小安的解法.$\begin{cases}4x - 7y = - 8,①\\2x + 5y = 13,②\end{cases}$ 由②，得2x = 13 - 5y，③ 由①得2·2x - 7y = - 8， 将③代入，得2(13 - 5y)-7y = - 8， 解得y = 2， 把y = 2代入③，得2x = 13 - 10， 解得x = $\frac{3}{2}$， 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{3}{2}\\y = 2\end{cases}$（也可选择小佳的解法）。