《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

11. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - my = - 1,\\3x - y = 2\end{cases}$的解是方程$2x + y = 3$的一个解，求$m$的值.

答案： 【解】解方程组 $\begin{cases}2x + y = 3\\3x - y = 2\end{cases}$，得 $\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$。把 $\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$ 代入 $2x - my = -1$，解得 $m = 3$。

12. 已知实数$a,b$满足$\sqrt{a + 1}+|a + b| = 0$，且以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + by = m,\\2ax - by = m + 1\end{cases}$的解为横、纵坐标的点$P(x,y)$在第二、四象限的角平分线上，求$m$的值.

答案： 【解】依题意，得 $a = -1$，$b = 1$，所以 $\begin{cases}-x + y = m,①\\-2x - y = m + 1,②\end{cases}$，所以 $-2x - y = -x + y + 1$，所以 $x + 2y = -1$，③。因为点 $P(x,y)$ 在第二、四象限的角平分线上，所以 $x + y = 0$，④。联立③④，解得 $\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$，所以 $m = -1 - 1 = -2$。

13. [2024·济宁期中] 新视角 新定义题 阅读与思考：对于未知数是$x$，$y$的二元一次方程组，如果方程组的解$x,y$满足$|x - y| = 1$，我们就说方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”.
(1)方程组$\begin{cases}3x + 2y = 8,\\5x - 4y = 6\end{cases}$的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由.
(2)若方程组$\begin{cases}4x - y = 7,\\2x + y = m\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”，求$m$的值.

答案： 【解】 - （1）方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 8\\5x - 4y = 6\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，理由：$\begin{cases}3x + 2y = 8,①\\5x - 4y = 6,②\end{cases}$ 由② + ①×2，得 $11x = 22$，解得 $x = 2$，把 $x = 2$ 代入①，得 $y = 1$。所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$。因为 $|2 - 1| = 1$，所以方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 8\\5x - 4y = 6\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”。 - （2）解方程组得 $\begin{cases}x=\frac{m + 7}{6}\\y=\frac{2m - 7}{3}\end{cases}$。因为方程组 $\begin{cases}4x - y = 7\\2x + y = m\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，所以 $\left|\frac{m + 7}{6}-\frac{2m - 7}{3}\right| = 1$，解得 $m = 5$ 或 $m = 9$。

14. [2024·北京海淀区期中] 新视角 新定义题 定义：关于$x,y$的方程$x + ky = b$与$kx + y = b$互为共轭二元一次方程，其中$k\neq1$；由这两个方程组成的方程组$\begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases}$叫做共轭方程组.
(1)请写出方程$4x + y = 3$的共轭二元一次方程：__________；
(2)若方程$x + ky = b$中$x,y$的值满足$x = - 1$，$y = 2$；$x = 2$，$y = 1$，求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组$\begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = m,\\y = n,\end{cases}$请你求出$m,n$之间的数量关系.

答案： $x + 4y = 3$@@【解】 - （2）由题意，得 $\begin{cases}-1 + 2k = b\\2 + k = b\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 3\\b = 5\end{cases}$，所以这个方程的共轭二元一次方程是 $3x + y = 5$。 - （3）$\begin{cases}x + ky = b,①\\kx + y = b,②\end{cases}$ ①×$k$，得 $kx + k^{2}y = bk$，③。③ - ②，得 $(k^{2}-1)y=(k - 1)b$，解得 $y=\frac{b}{k + 1}$，将 $y=\frac{b}{k + 1}$ 代入①，得 $x+\frac{kb}{k + 1}=b$，解得 $x=\frac{b}{k + 1}$，所以 $x = y$。因为共轭方程组 $\begin{cases}x + ky = b\\kx + y = b\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$，所以 $m = n$。