《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

11. [2024·枣庄薛城区期中] 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，连接AE，分别以点E和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}$EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D. 若∠B = 45°，∠ACE = 2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）


A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°

答案： A

12. 如图，以等腰直角三角形ABC的直角边AC为边作等边三角形ACD，CE⊥AD于点E，BD，CE交于点F，则下列结论中正确的有________.（填序号）
①∠DFE = 45°；
②BC = 2DE；
③BF = 2DF；
④AB = 2DF.

答案： ①②④

13. 如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP = ∠ACQ，BP = CQ，问△APQ是什么形状的三角形？并证明你的结论.

答案： 【解】△APQ 为等边三角形. 证明如下：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60°. 在△ABP 和△ACQ 中，AB = AC，∠ABP = ∠ACQ，BP = CQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
∴AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ.
∵∠BAC = ∠BAP + ∠PAC = 60°，
∴∠PAQ = ∠CAQ + ∠PAC = 60°.
∴△APQ 是等边三角形. 

14. 学科素养 几何直观 等边三角形ABC的边长为9，P是AB上一动点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒.
（1）如图①，点Q是BC上一点，若BQ = 6，PQ//AC，求t的值.
（2）如图②，若点P从点A向点B运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

答案： 【解】
(1)
∵△ABC 是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP = ∠C = 60°，∠BPQ = ∠A = 60°，∠B = 60°.
∴∠B = ∠BQP = ∠BPQ = 60°.
∴△BPQ 是等边三角形.
∴BP = BQ = 6. 由题意知 AP = t，则 BP = 9 - t，
∴9 - t = 6，解得 t = 3.
(2)①当点 Q 在边 BC 上时，易知△APQ 不可能为等边三角形； ②当点 Q 在边 AC 上时，若△APQ 为等边三角形，则 AP = AQ. 由题意知 AP = t，BC + CQ = 2t，
∴AQ = BC + AC - (BC + CQ) = 9 + 9 - 2t = 18 - 2t.
∴18 - 2t = t，解得 t = 6.
∴当 t = 6 时，△APQ 为等边三角形.