《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

11. 如图，在△ABC中，∠B = ∠C = 30°，点D，E在边BC上（点D在点E的左侧），BD = CE，∠DAE = ∠BAD，求证：△ADE是等边三角形.

答案： 【证明】因为 $\angle B=\angle C$，所以 $AB = AC$。 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle B=\angle C\\BD = CE\end{cases}$，所以 $\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。 所以 $AD = AE$，$\angle BAD=\angle CAE$。 因为 $\angle DAE=\angle BAD$，所以 $\angle DAE=\angle BAD=\angle CAE$。 所以 $\angle DAE=\frac{1}{3}\angle BAC$。 因为 $\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$，所以 $\angle BAC = 120^{\circ}$，所以 $\angle DAE = 60^{\circ}$。 所以 $\triangle ADE$ 是等边三角形。

12. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC = 20，BC = 15，DB = 9.
（1）求DC，AB的长.
（2）求证：△ABC是直角三角形.

答案：
(1) 【解】因为 $CD\perp AB$，所以 $\angle CDB=\angle CDA = 90^{\circ}$。 在 $Rt\triangle BCD$ 中，$BC = 15$，$DB = 9$，所以 $DC=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$。 因为在 $Rt\triangle ADC$ 中，$AC = 20$，$CD = 12$，所以 $AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}} = 16$。 所以 $AB = AD + DB = 16 + 9 = 25$。
(2) 【证明】因为 $AB = 25$，$AC = 20$，$BC = 15$，所以 $AB^{2}=25^{2}=625$，$AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625$。 所以 $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形。

13. 如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AB = AD，BC = DE，AE与BC交于点M，AC与DE交于点N.
（1）求证：AM = AN；
（2）连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC.

答案： 【证明】
(1) 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle ADE$ 中，$\begin{cases}AB = AD\\BC = DE\end{cases}$，所以 $Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADE(HL)$，所以 $\angle B=\angle D$。 因为 $\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAM = 90^{\circ}-\angle EAC=\angle DAN$。 在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ADN$ 中，$\begin{cases}\angle B=\angle D\\AB = AD\\\angle BAM=\angle DAN\end{cases}$，所以 $\triangle ABM\cong\triangle ADN(ASA)$，所以 $AM = AN$。
(2) 由
(1)知 $Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADE$，所以 $AC = AE$，$\angle ACB=\angle AED$，所以 $\angle ACE=\angle AEC$。 所以 $\angle ACE-\angle ACB=\angle AEC-\angle AED$，即 $\angle OCE=\angle OEC$，所以 $OC = OE$。 所以点 $O$ 在 $EC$ 的垂直平分线上。 因为 $AC = AE$，所以点 $A$ 也在 $EC$ 的垂直平分线上。 所以 $AO$ 垂直平分 $EC$。

14. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形，连接AO.
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上.
（2）若AC = 5，BC = 12，求OE的长.

答案：

(1) 【证明】如图，过点 $O$ 作 $OM\perp AB$ 于点 $M$。 因为四边形 $OECF$ 是正方形，所以 $OE = OF$，$OE\perp BC$，$OF\perp AC$。 又因为 $BD$ 平分 $\angle ABC$，$OM\perp AB$，所以 $OM = OE$，所以 $OM = OF$。 又因为 $OM\perp AB$，$OF\perp AC$，所以点 $O$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上。
(2) 【解】在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = 5$，$BC = 12$，由勾股定理得 $AB = 13$。 设 $OE = x$，易得 $AM = AF = 5 - x$，$BM = BE = 12 - x$。 因为 $BM + AM = AB = 13$，所以 $12 - x + 5 - x = 13$，解得 $x = 2$，所以 $OE = 2$。