《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. 已知直线$y = 2x$与$y = -x + b$的交点坐标为$(1,a)$，试确定方程组$\begin{cases}2x - y = 0,\\x + y - b = 0\end{cases}$的解和$a,b$的值.

答案： 【解】因为直线$y = 2x$过点$(1,a)$，所以$a = 2$。所以两直线的交点坐标为$(1,2)$。因为直线$y=-x + b$过点$(1,2)$，所以$2=-1 + b$，解得$b = 3$。所以方程组$\begin{cases}2x - y = 0 \\x + y - b = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1 \\y = 2\end{cases}$。

2. [2024·烟台莱州市期末] 如图，直线$y_1 = 2x - 2$与$y$轴交于点$A$，直线$y_2 = ax + 6$与$y$轴交于点$B$，两直线交于点$C$，且点$C$的横坐标为2.
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 2,\\ax - y = -6\end{cases}$的解是_______；
(2)$a =$_______；
(3)求$\triangle ABC$的面积；
(4)在直线$y_1 = 2x - 2$的图象上存在异于点$C$的另一点$P$，使得$\triangle ABC$与$\triangle ABP$的面积相等，请求出点$P$的坐标.

答案： $\begin{cases}x = 2 \\y = 2\end{cases}$@@$-2$@@
(3)对于直线$y_1 = 2x - 2$，当$x = 0$时，$y_1=-2$，所以$A(0,-2)$，同理可求，$B(0,6)$，所以易得$AB = 8$。易知点$C$的坐标为$(2,2)$。所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot x_C=\frac{1}{2}\times8\times2 = 8$。
(4)由题意得，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot|x_P| = 4|x_P|$，因为$\triangle ABC$与$\triangle ABP$的面积相等，所以$4|x_P| = 8$，解得$x_P=\pm2$。又因为点$P$是异于点$C$的点，所以$x_P=-2$。所以$y = 2\times(-2)-2=-6$。所以$P(-2,-6)$。

3. 在平面直角坐标系中，已知直线$l_1:y = k_1x + b_1$和直线$l_2:y = k_2x + b_2$.
(1)当________时，$l_1$与$l_2$相交于一点，此时方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1,\\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是_______________；
(2)当___________时，$l_1// l_2$，此时方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1,\\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解的情况是_______；
(3)当___________时，$l_1$与$l_2$重合，此时方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1,\\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解的情况是_______.

答案： $k_1\neq k_2$@@两直线交点的横、纵坐标@@$k_1 = k_2$，$b_1\neq b_2$@@无解@@$k_1 = k_2$，$b_1 = b_2$@@有无数个解

4. [2024·长沙期中] 如图，在平面直角坐标系中，直线$l_1:y = x - 2$与直线$l_2:y = kx + b$相交于点$P(4,2)$，且直线$l_2$过点$(2,\frac{7}{2})$.
(1)求直线$l_2$的函数表达式；
(2)直线$l_1$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A,B$，直线$l_2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$C,D$，求$\triangle BDP$的面积.

答案： 【解】
(1)将点$(2,\frac{7}{2})$，$P(4,2)$的坐标代入表达式$y = kx + b$，得$\begin{cases}2k + b=\frac{7}{2} \\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4} \\b = 5\end{cases}$，所以直线$l_2$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 5$。
(2)因为直线$l_1$与$y$轴交于点$B$，直线$l_2$与$y$轴交于点$D$，所以$B(0,-2)$，$D(0,5)$，所以$BD = 5-(-2)=7$。所以$S_{\triangle BDP}=\frac{1}{2}BD\cdot|x_P|=\frac{1}{2}\times7\times4 = 14$。