《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

10. 如图，$a,b,c$是数轴上三个点$A,B,C$所对应的实数.

(1)将$a,b,c,0$由大到小排列：________________（用“＞”连接）；
(2)$a - b$______0；$b - c$______0（填“＞”“=”或“＜”）；
(3)试化简：$-|a - b|+\sqrt[3]{(a + c)^{3}}-\sqrt{(c - b)^{2}}$.

答案： 【解】
(1)$c＞0＞a＞b$
(2)＞；＜
(3)$\because a - b＞0$，$c - b＞0$， $\therefore -|a - b|+\sqrt[3]{(a + c)^{3}}-\sqrt{(c - b)^{2}}=-(a - b)+(a + c)-(c - b)=-a + b+a + c - c + b=2b$.

11. [新考法作差法]根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若$a - b＞0$,则$a＞b$;若$a - b = 0$,则$a = b$;若$a - b＜0$,则$a＜b$.反之也成立.这种比较大小的方法称为“作差法”.请运用这种方法尝试解决下面的问题：
(1)比较$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}$与$3a^{2}-2b + 1$的大小；
(2)若$2a + 2b＞3a + b$,比较$a,b$的大小.

答案： 【解】
(1)$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}-(3a^{2}-2b + 1)=4 + 3a^{2}-2b + b^{2}-3a^{2}+2b - 1=b^{2}+3＞0$， $\therefore 4 + 3a^{2}-2b + b^{2}＞3a^{2}-2b + 1$.
(2)$\because 2a + 2b＞3a + b$，$\therefore (2a + 2b)-(3a + b)＞0$. $\therefore 2a + 2b-3a - b＞0$. $\therefore -a + b＞0$. $\therefore a ＜ b$.

12. [新视角项目探究题]【提出问题】已知$x - y = 2$,且$x＞1,y＜0$,试确定$x + y$的取值范围.
【分析问题】先根据已知条件用$y$去表示$x$,然后根据题中已知$x$的取值范围，构建$y$的不等式，从而确定$y$的取值范围，同理再确定$x$的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题.
【解决问题】解：$\because x - y = 2,\therefore x = y + 2$.
$\because x＞1,\therefore y + 2＞1.\therefore y＞-1$.
$\because y＜0,\therefore -1＜y＜0$.①
同理，得$1＜x＜2$.②
由①+②,得$-1 + 1＜y + x＜0 + 2$,
$\therefore x + y$的取值范围是$0＜x + y＜2$.
【尝试应用】(1)已知$x - y = -3$,且$x＜-1,y＞1$,求$x + y$的取值范围；
(2)已知$y＞1,x＜-1$,若$x - y = a$成立，求$x + y$的取值范围（结果用含$a$的式子表示）.

答案： 【解】
(1)$\because x - y=-3$，$\therefore x=y - 3$. $\because x ＜ - 1$，$\therefore y - 3 ＜ - 1$. $\therefore y ＜ 2$. $\because y＞1$， $\therefore 1 ＜ y ＜ 2$. ① 同理，得$-2 ＜ x ＜ - 1$. ② 由①+②，得$-2 + 1 ＜ x + y ＜ - 1+2$， $\therefore x + y$的取值范围是$-1 ＜ x + y ＜ 1$.
(2)$\because y＞1$，$x ＜ - 1$，$\therefore x - y ＜ - 2$. $\because x - y=a$，$\therefore a ＜ - 2$. $\because x - y=a$，$\therefore x=y + a$. $\because x ＜ - 1$， $\therefore y + a ＜ - 1$，$\therefore y ＜ - 1 - a$. 又$\because y＞1$，$\therefore 1 ＜ y ＜ - 1 - a$. ① 同理，得$a + 1 ＜ x ＜ - 1$. ② 由①+②，得$a + 2 ＜ x + y ＜ - 2 - a$， $\therefore$当$a ＜ - 2$时，$x + y$的取值范围是$a + 2 ＜ x + y ＜ - 2 - a$.