《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. 如图，点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，连接 OB，OC. 若∠BOC = 120°，则∠A 的度数是 （ ）



A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 70°

答案： C

2. [2024·烟台莱州市期中] 如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线交于点 O，AB = 6 cm，BC = 9 cm，△ABO 的面积为 18 cm²，则△BOC 的面积为 （ ）

A. 13.5 cm²
B. 18 cm²
C. 24 cm²
D. 27 cm²

答案： D

3. 母题 教材P124习题4 如图，直线 l₁，l₂，l₃ 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 （ ）



A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处

答案： D

4. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，两直角边 AB = 7，BC = 24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为 E，F，D，则 PD 的长为 _______.

答案： 3

5. 如图，△ABC 的两条外角平分线 AP，CP 相交于点 P，PH⊥AC 于点 H，连接 BP. 若∠ABC = 60°，则下面的结论：①∠ABP = 30°；②∠APC = 60°；③PB = 2PH；④∠APH = ∠BPC. 其中正确的结论是 （ ）



A. ①
B. ②③
C. ②③④
D. ①②③④

答案： D

6. [2024·深圳外国语学校期末] 如图，已知在△ABC 中，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，CD 平分∠ACB，BE 平分∠ABC，BE 与 CD 交于点 O，若过点 O 的直线 MN 平分△ABC 的面积，那么 CM + CN 的值为 _______.

答案： 6

7. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的高，AE 是∠BAD 的平分线，F 为 AE 上一点，连接 BF，∠BFE = 45°.
（1）求证：BF 平分∠ABE；
（2）连接 CF 交 AD 于点 G，若 S△ABF = S△CBF，求证：∠AFC = 90°.

（第 7 题）

答案：
【证明】
(1)因为 $AE$ 是 $\angle BAD$ 的平分线，所以 $\angle BAD=2\angle BAF$。因为 $\angle BFE=45$

${}^{\circ }$，所以 $\angle FBA+\angle BAF=45^{\circ }$，所以 $2\angle FBA+2\angle BAF=90^{\circ }$。因为 $AD$ 为 $BC$ 边上的高，所以 $\angle EBF+\angle FBA+2\angle BAF=90^{\circ }$，所以 $2\angle FBA=\angle EBF+\angle FBA$。所以 $\angle EBF=\angle FBA$，所以 $BF$ 平分 $\angle ABE$。

(2) 如图，过点 $F$ 作 $FM\perp BC$ 于点 $M$，$FN\perp AB$ 于点 $N$。因为 $BF$ 平分 $\angle ABE$，所以 $FM=FN$。 因为 $S_{△ABF}=S_{△CBF}$，即 $\frac{1}{2}AB\cdot FN=\frac{1}{2}BC\cdot FM$，所以 $AB=BC$。在 $△ABF$ 和 $△CBF$ 中， 因为 $\{\begin{array}{l}BA=BC,\\ \angle ABF=\angle CBF,\\ BF=BF,\end{array}$ 所以 $△ABF\cong △CBF(SAS)$。所以 $\angle AFB=\angle CFB$。因为 $\angle BFE=45^{\circ }$，所以 $\angle AFB=135^{\circ }$，所以 $\angle CFB=135^{\circ }$，所以 $\angle CFE=\angle CFB-\angle BFE=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$，所以 $\angle AFC=90^{\circ }$