《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE = AD，∠BAD = 50°，求∠CDE的度数。

答案： 【解】因为AB = AC，AD为BC边上的中线， 所以∠ADC = 90°，∠CAD = ∠BAD = 50°。 又因为AD = AE，所以∠ADE = ∠AED = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CAD) = 65°。 所以∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 90° - 65° = 25°。

2. 如图，在△ABC中，AC = BC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F。
(1)若D是AB的中点，求证：∠BDE = $\frac{1}{2}$∠C；
(2)若∠ADE = 160°，求∠DEF的度数。

答案：
(1)【证明】连接CD。 因为AC = BC，D是AB的中点， 所以CD⊥AB，∠ACD = ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠ACB。 所以易知∠BCD + ∠B = 90°。 因为DE⊥BC，所以易知∠B + ∠BDE = 90°。 所以∠BCD = ∠BDE。 所以∠BDE = $\frac{1}{2}$∠ACB。
(2)【解】因为∠ADE = 160°，所以∠BDE = 20°。 因为DE⊥BC，EF⊥AC，所以∠DEB = ∠AFE = 90°。 在Rt△BDE中，∠DEB = 90°， 所以∠B = 90° - ∠BDE = 90° - 20° = 70°。 因为AC = BC，所以∠A = ∠B = 70°。 所以易得∠DEF = 360° - ∠A - ∠ADE - ∠AFE = 360° - 70° - 160° - 90° = 40°。

3. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD = DB，DE⊥AB于点E。若BC = 10，且△BDC的周长为24，求AE的长。

答案： 【解】因为△BDC的周长 = BD + BC + CD = 24，BC = 10， 所以BD + CD = 14。 因为AD = BD， 所以AC = AD + CD = BD + CD = 14。 又因为AB = AC，所以AB = 14。 因为AD = DB，DE⊥AB，所以AE = $\frac{1}{2}$AB = 7。

4. [2024·武汉十一初级中学模拟]如图，在△ABC中，AB = AC，CE⊥AE于点E，CE = $\frac{1}{2}$BC，点E在△ABC外。求证：∠ACE = ∠B。

答案：
【证明】如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB = 90°。 因为AB = AC，所以BD = CD = $\frac{1}{2}$BC。 又因为CE = $\frac{1}{2}$BC， 所以BD = CE。因为CE⊥AE， 所以∠AEC = 90°。 在Rt△ABD中，AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$， 在Rt△ACE中，AE = $\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$，所以AD = AE。 所以△ABD≌△ACE(SSS)。所以∠ACE = ∠B。