《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

12. （12分）如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB = DE，∠A = ∠D，AC//DF.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF = 11，BE = 4，求EC的长度.

答案： （1）【证明】
∵ AC//DF，
∴ ∠ACB = ∠F。 在△ABC 与△DEF 中，$\begin{cases}\angle ACB = \angle F \\ \angle A = \angle D \\ AB = DE\end{cases}$，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）。 （2）【解】由（1）知△ABC≌△DEF，
∴ BC = EF。
∴ BC - CE = EF - CE，即 BE = CF.
∴ CF = 4。
∴ CE = BF - BE - CF = 11 - 4 - 4 = 3。

13. （10分）如图，已知AB = AD = DC，∠ACB = 30°，AC与BD相交于点G. 求∠AGB的度数.

答案：
【解】如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E。
∵ DA = DC，DE⊥AC，
∴ AC = 2AE。
∵ ∠ACB = 30°，
∴ AC = 2AF，∠CAF = 60°。
∴ AF = AE。 又
∵ AB = AD，
∴ Rt△AFB≌Rt△AED（HL）.
∴ ∠DAE = ∠BAF。 设∠DAE = ∠BAF = α，
∴ ∠DAB = 60° + 2α。
∵ AB = AD，
∴ 易知∠ABD = ∠ADB = 60° - α。
∵ ∠ABF = 90° - α，
∴ ∠GBC = ∠ABF - ∠ABD = 90° - α - (60° - α) = 30°。
∴ ∠AGB = ∠GBC + ∠ACB = 30° + 30° = 60°。

14. （23分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，OB = AB. BO与x轴负方向的夹角为150°.
（1）求证：△OAB是等边三角形；
（2）如图①，若M为y轴正半轴上一动点，以BM为边作等边三角形BMN，连接NA并延长交x轴于点P，求证：AP = 2AO.
（3）如图②，若BC⊥BO，BC = BO，D为CO的中点，连接AC，DB交于点E，请问AE，BE与CE之间有何数量关系？证明你的结论.

答案：
（1）【证明】
∵ OB 与 x 轴负方向的夹角为 150°，
∴ ∠AOB = 60°。 又
∵ OB = AB，
∴ △OAB 是等边三角形。 （2）【证明】设 MB 与 AN 交于点 F，由（1）知△OAB 是等边三角形.
∴ ∠ABO = 60°。
∵ △BMN 是等边三角形，
∴ BM = BN，∠MBN = 60°，
∴ ∠MBO = ∠NBA = 60° + ∠ABM。
∵ OB = AB，
∴ △MBO≌△NBA（SAS）。
∴ ∠OMB = ∠ANB。 又
∵ ∠AFM = ∠BFN，
∴ ∠FAM = ∠FBN = 60°。
∵ ∠OAP = ∠FAM，
∴ ∠OAP = 60°. 又
∵ ∠AOP = 90°，
∴ ∠APO = 30°，
∴ AP = 2AO。 （3）【解】AE = CE + BE. 证明如下： 如图，在 AC 上截取 AG = CE，连接 BG。
∵ BC⊥BO，
∴ ∠OBC = 90°。
∵ D 为 CO 的中点，BC = BO，
∴ BD 平分∠OBC，即 ∠CBD = ∠OBD = 45°。
∵ ∠ABO = 60°，
∴ ∠ABC = 150°。
∵ OB = AB，BC = BO，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = 15°，
∴ ∠AEB = 15° + 45° = 60°。 在△ABG 和△CBE 中，$\begin{cases}AB = CB \\ \angle BAG = \angle BCE \\ AG = CE\end{cases}$，
∴ △ABG≌△CBE（SAS）.
∴ BG = BE。
∴ △BEG 为等边三角形，
∴ BE = EG。
∴ AE = AG + EG = CE + BE。