《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

8. 如图，$AB = BC$，$AB\perp BC$于点$B$，$FC\perp BC$于点$C$，$E$为$BC$上一点，$BE = FC$. 请判断$AE$与$BF$的关系，并说明理由.

答案： 【解】AE⊥BF且AE = BF. 理由：因为AB⊥BC于点B，FC⊥BC于点C，所以∠ABE = ∠BCF = 90°. 又因为AB = BC，BE = CF，所以△ABE≌△BCF（SAS），所以AE = BF，∠A = ∠FBC. 因为∠A + ∠AEB = 90°，所以∠FBC + ∠AEB = 90°，所以∠BDE = 90°，所以AE⊥BF.

9. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD = BD$，$E$是$AD$上的一点，$AC = BE$，$BE$的延长线交$AC$于点$F$.
(1)求证：$\triangle BDE\cong\triangle ADC$；
(2)若$AD = BD = 8$，$AC = BE = 10$，求$EF$的长.

答案： （1）【证明】因为AD是△ABC的高，所以∠BDE = ∠ADC = 90°. 在Rt△BDE和Rt△ADC中，$\begin{cases}BE = AC \\ BD = AD\end{cases}$，所以Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）. （2）【解】因为Rt△BDE≌Rt△ADC，所以ED = CD = $\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$ = 6，∠EBD = ∠CAD. 因为∠C + ∠CAD = 90°，所以∠C + ∠EBD = 90°. 所以∠BFC = 90°. 所以BF⊥AC. 因为△ABC的面积 = △ABD的面积 + △ACD的面积，所以$\frac{1}{2}AC\cdot BF=\frac{1}{2}AD\cdot BD+\frac{1}{2}CD\cdot AD$，即10BF = 8×8 + 8×6，解得BF = 11.2. 所以EF = BF - BE = 11.2 - 10 = 1.2.

10. 如图①，$E$，$F$分别为线段$AC$上的两个动点，且$DE\perp AC$于$E$，$BF\perp AC$于$F$，若$AB = CD$，$AF = CE$，$BD$交$AC$于点$M$.
(1)求证：$MB = MD$，$AM = CM$.
(2)当$E$，$F$两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

答案： （1）【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\begin{cases}AB = CD \\ AF = CE\end{cases}$，所以Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以BF = DE. 在△BFM和△DEM中，$\begin{cases}\angle BMF=\angle DME \\\angle BFM=\angle DEM = 90^{\circ}\\BF = DE\end{cases}$，所以△BFM≌△DEM（AAS）. 所以FM = EM，MB = MD. 因为AF = CE，所以AM = CM. （2）【解】成立. 证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\begin{cases}AB = CD \\ AF = CE\end{cases}$，所以Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以BF = DE. 在△BFM和△DEM中，$\begin{cases}\angle BMF=\angle DME \\\angle BFM=\angle DEM = 90^{\circ}\\BF = DE\end{cases}$，所以△BFM≌△DEM（AAS），所以FM = EM，MB = MD. 因为AF = CE，所以AM = CM.