《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

13. 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$的平分线与$\triangle ABC$的外角$\angle ACE$的平分线相交于点$D$.
（1）判断$\angle D$与$\angle A$的数量关系，并加以证明；
（2）若$\angle DBC$的平分线与$\triangle DBC$的外角$\angle DCE$的平分线相交于点$G$（如图②），直接写出$\angle G$与$\angle A$的数量关系.

答案： 【解】
(1)∠D = $\frac{1}{2}$∠A。 证明：在△ABC中，∠ACE = ∠A + ∠ABC，所以∠A = ∠ACE - ∠ABC。 在△DBC中，∠DCE = ∠D + ∠DBC，所以∠D = ∠DCE - ∠DBC。 因为∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，所以∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE。 所以∠D = $\frac{1}{2}$∠ACE - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACE - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A。
(2)∠G = $\frac{1}{4}$∠A。 【点拨】在△DBC中，∠DCE = ∠D + ∠DBC，所以∠D = ∠DCE - ∠DBC，在△GBC中，∠GCE = ∠G + ∠GBC，所以∠G = ∠GCE - ∠GBC。 因为∠DBC的平分线与∠DCE的平分线相交于点G，所以∠GBC = $\frac{1}{2}$∠DBC，∠GCE = $\frac{1}{2}$∠DCE。所以∠G = $\frac{1}{2}$∠DCE - $\frac{1}{2}$∠DBC = $\frac{1}{2}$(∠DCE - ∠DBC) = $\frac{1}{2}$∠D。又因为∠D = $\frac{1}{2}$∠A，所以∠G = $\frac{1}{4}$∠A。

14. 如图，已知直线$l_1// l_2$，直线$l_3$交$l_1$于点$C$，交$l_2$于点$D$，$A$是直线$l_1$上一点，$B$是直线$l_2$上一点，$P$是直线$CD$上的一个动点（不与点$C$，$D$重合），当点$P$在直线$CD$上运动时，请你探究$\angle 1$，$\angle 2$，$\angle 3$之间的数量关系.

答案：
【解】分三种情况讨论： ①当点P在点C，D之间时，如图①，过点P作PE//l₁，则∠APE = ∠1。 因为l₁//l₂，所以PE//l₂。所以∠BPE = ∠3。 因为∠2 = ∠APE + ∠BPE，所以∠2 = ∠1 + ∠3。 ②当点P在点C上方时，如图②，过点P作PN//l₁，则∠NPA = ∠1。 因为l₁//l₂，所以PN//l₂。所以∠NPB = ∠3。 因为∠NPB = ∠2 + ∠NPA，所以∠3 = ∠2 + ∠1。 ③当点P在点D下方时，如图③，过点P作PQ//l₂，则∠QPB = ∠3。 因为l₁//l₂，所以PQ//l₁。所以∠APQ = ∠1。 因为∠APQ = ∠2 + ∠QPB，所以∠1 = ∠2 + ∠3。 综上所述，当点P在点C，D之间时，∠2 = ∠1 + ∠3；当点P在点C上方时，∠3 = ∠2 + ∠1；当点P在点D下方时，∠1 = ∠2 + ∠3。