《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

16（6分）一个长方形的长是$4.2\times10^{4}\ cm$，宽是$2\times10^{4}\ cm$，则此长方形的面积及周长分别是多少？

答案： 解：$4.2 \times 10^4 \times 2 \times 10^4 = 8.4 \times 10^8(cm^2)$。 $2 \times (4.2 \times 10^4 + 2 \times 10^4) = 12.4 \times 10^4 = 1.24 \times 10^5(cm)$。 因此，长方形的面积为$8.4 \times 10^8\ cm^2$，周长为$1.24 \times 10^5\ cm$。

17（8分）已知$(9^{m + 1})^{2}=3^{16}$，$3^{2n + 1}+9^{n}=324$，求$m + n$的值。

答案： 解：因为$(9^{m + 1})^2 = [(3^2)^{m + 1}]^2 = 3^{4m + 4} = 3^{16}$，$3^{2n + 1} + 9^n = 3 \times 3^{2n} + 3^{2n} = 3^{2n} \times (3 + 1) = 324$，$3^{2n} = 81 = 3^4$， 所以$4m + 4 = 16$，$2n = 4$，解得$m = 3$，$n = 2$， 所以$m + n = 3 + 2 = 5$。

18（8分）新趋势 过程性学习 以下是小明计算$(b - a)^{3}\cdot (a - b)^{n}-(a - b)^{n + 1}\cdot (b - a)^{2}$的过程。
解：原式$=(a - b)^{3}\cdot (a - b)^{n}-(a - b)^{n + 1}\cdot (a - b)^{2}$ ①
$=(a - b)^{n + 3}-(a - b)^{n + 3}$ ②
$=0$。 ③
（1）小明运算过程是否正确，如果不正确，请指出从哪一步开始出现错误；
（2）写出正确的过程。

答案： 解：
(1)不正确，从第①步开始出现错误。
(2)正确的解答过程如下： 原式$= [-(a - b)]^3 \cdot (a - b)^n - (a - b)^{n + 1} \cdot (a - b)^2$ $= -(a - b)^3 \cdot (a - b)^n - (a - b)^{n + 1} \cdot (a - b)^2$ $= -(a - b)^{n + 3} - (a - b)^{n + 3} = -2(a - b)^{n + 3}$。

19（10分）新趋势 阅读理解题（湖南衡阳雁峰区期末）先阅读下列材料，再回答下面的问题。
材料：一般地，$n$个相同因数$a$相乘，即$\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{n个}$，记为$a^{n}$，如$2^{3}=8$，此时3叫作以2为底8的对数，记为$\log_{2}8$（即$\log_{2}8 = 3$）。
一般地，若$a^{n}=b(a ＞ 0$且$a\neq1$，$b ＞ 0)$，则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_{a}b$（即$\log_{a}b = n$）。如$3^{4}=81$，则4叫作以3为底81的对数，记为$\log_{3}81 = 4$。
（1）计算以下各对数的值：$\log_{2}4=$________，$\log_{2}16=$________，$\log_{2}64=$________。
（2）观察（1）中的三个数4，16，64之间满足怎样的关系？$\log_{2}4$，$\log_{2}16$，$\log_{2}64$之间又满足怎样的关系？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？并说明说明。

答案： 解：
(1)2；4；6
(2)$4 \times 16 = 64$。 $\log_2 4 + \log_2 16 = 2 + 4 = 6$，$\log_2 64 = 6$，则$\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$。
(3)$\log_a M + \log_a N = \log_a MN$（$a ＞ 0$且$a \neq 1$，$M$，$N ＞ 0$）。 设$\log_a M = m$，$\log_a N = n$，则$M = a^m$，$N = a^n$。 因为$MN = a^m \cdot a^n = a^{m + n}$，所以$\log_a MN = \log_a a^{m + n} = m + n$， 所以$\log_a M + \log_a N = \log_a MN$。