《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

13 (14分)(河南焦作温县期中)根据要求画图，并回答问题：如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O。
(1)过点O作直线MN，使得MN⊥AB；
(2)点F为直线MN上任意一点(不与点O重合)，已知∠BOD=46°，求∠EOF的度数。

答案：
解：
(1)如图，直线MN即为所求作。 
 
(2)当点F在射线OM上时，如图所示。 因为OE⊥CD，MN⊥AB，所以∠EOD = ∠BOM = 90°， 所以∠DOF + ∠EOF = ∠DOF + ∠BOD，即∠EOF = ∠BOD。 因为∠BOD = 46°，所以∠EOF = 46°。（同角的余角相等） 当点F在射线ON上时，如图所示。

因为OE⊥CD，∠BOD = 46°，所以∠AOE = 180° - ∠EOD - ∠BOD = 44°。 因为MN⊥AB，所以∠AOF = 90°。 所以∠EOF = ∠AOE + ∠AOF = 134°。 综上所述，∠EOF的度数为46°或134°。

14 (18分)如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF。
(1)判断OC与OD是否垂直，并说明理由；
(2)若∠D与∠1互余，判断ED与AB是否平行，并说明理由。

答案： 解：
(1)OC⊥OD。理由如下： 因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， 所以∠COF = $\frac{1}{2}$∠AOF，∠DOF = $\frac{1}{2}$∠BOF， 所以∠COD = ∠COF + ∠DOF = $\frac{1}{2}$(∠AOF + ∠BOF) = 90°， 所以OC⊥OD。
(2)ED//AB。理由如下： 因为∠COD = 90°， 所以∠1 + ∠BOD = 90°。 因为∠D与∠1互余，所以∠1 + ∠D = 90°， 所以∠D = ∠BOD，所以ED//AB。

15 (20分)如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补。
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠AEF+∠EFC=180°，∠AEF与∠EFC的平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG于点G，试说明：PF//GH；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数。

答案： 解：
(1)AB//CD。理由如下： 因为∠1 + ∠AEF = 180°，∠1 + ∠2 = 180°， 所以∠AEF = ∠2，所以AB//CD。
(2)因为∠AEF与∠EFC的平分线交于点P，∠AEF + ∠EFC = 180°， 所以∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠AEF + ∠EFC) = 90°， 所以∠EPF = 90°，所以EG⊥PF。 因为GH⊥EG，所以PF//GH。
(3)因为∠PHK + ∠HPK + ∠PKH = 180°，∠PKG + ∠PKH = 180°，∠PHK = ∠HPK，所以∠PKG = ∠PHK + ∠HPK = 2∠HPK。 因为EG⊥GH，所以∠EGH = 90°， 所以∠GPK = 90° - ∠PKG = 90° - 2∠HPK， 所以∠EPK = 180° - ∠GPK = 90° + 2∠HPK。 因为PQ平分∠EPK， 所以∠QPK = ∠EPQ = $\frac{1}{2}$∠EPK = 45° + ∠HPK， 所以∠HPQ = ∠QPK - ∠HPK = 45°。