《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

15 (10分)先化简，再求值：[(x - 2y)² - (2x + y)(x - 4y) - (-x + 3y)(x + 3y)]÷(-$\frac{2}{3}$y)，其中|x + 2y| + (x - 2)²=0。

答案： 解：$[(x - 2y)^{2}-(2x + y)(x - 4y)-(-x + 3y)(x + 3y)]\div(-\frac{2}{3}y)$ $=(x^{2}-4xy + 4y^{2}-2x^{2}+7xy + 4y^{2}-9y^{2}+x^{2})\div(-\frac{2}{3}y)$ $=(3xy - y^{2})\div(-\frac{2}{3}y)$ $=-\frac{9}{2}x+\frac{3}{2}y$。 因为$\vert x + 2y\vert+(x - 2)^{2}=0$， 所以$x + 2y = 0$，$x - 2 = 0$，所以$x = 2$，$y=-1$， 当$x = 2$，$y=-1$时，原式$=-\frac{9}{2}\times2+\frac{3}{2}\times(-1)=-9-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$。

16 (11分)(1)已知2ᵃ=5，2ᵇ=1，求2ᵃ⁺ᵇ⁺³的值；
(2)已知2ⁿ=a，5ⁿ=b，20ⁿ=c，则a，b，c之间有什么等量关系？说明理由。

答案： 解：
(1)$2^{a + b+3}=2^{a}\times2^{b}\times2^{3}=5\times1\times8 = 40$。
(2)$c = a^{2}b$。理由如下： $c = 20^{n}=(4\times5)^{n}=4^{n}\times5^{n}=(2^{2})^{n}\times5^{n}=(2^{n})^{2}\times5^{n}=a^{2}b$。

17 (11分)小虎同学在计算一个多项式A乘(1 - 2x)时，因抄错运算符号，算成了加上(1 - 2x)，得到的结果是x² - x + 1。
(1)这个多项式A是多少？
(2)正确的计算结果是多少？

答案： 解：
(1)$A = x^{2}-x + 1-(1 - 2x)=x^{2}-x + 1-1 + 2x=x^{2}+x$。
(2)$(x^{2}+x)(1 - 2x)=x^{2}-2x^{3}+x - 2x^{2}=-2x^{3}-x^{2}+x$。

18 (12分) 新趋势 过程性学习 利用完全平方公式(a ± b)²=a² ± 2ab + b²，可以解决很多数学问题。
例如：若a + b=3，ab=1，求a² + b²的值。
解：因为a + b=3，所以(a + b)²=9，所以a² + b² + 2ab=9。
因为ab=1，所以a² + b² + 2×1=9，得a² + b²=7。
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若m - n=4，mn=12，求m² + n²的值；
(2) 若(112 - m)² + (111 - m)²=3，求(112 - m)·(111 - m)的值。

答案： 解：
(1)因为$m - n = 4$，所以$(m - n)^{2}=16$， 所以$m^{2}+n^{2}-2mn = 16$。 因为$mn = 12$，所以$m^{2}+n^{2}-2\times12 = 16$，所以$m^{2}+n^{2}=40$。
(2)因为$[(112 - m)-(111 - m)]^{2}=1$， 所以$(112 - m)^{2}+(111 - m)^{2}-2(112 - m)(111 - m)=1$。 因为$(112 - m)^{2}+(111 - m)^{2}=3$，所以$3-2(112 - m)(111 - m)=1$，解得$(112 - m)(111 - m)=1$。