《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

10 计算$(3a + m)(-6a + 2)$的结果是$-18a^{2}+2m$，则$m$的值是 （ ）
A. $m=-2$
B. $m = 2$
C. $m=-1$
D. $m = 1$

答案： D

11 若$n$为整数，则代数式$(3n + 3)(n + 3)+3$的值一定可以 （ ）
A. 被2整除
B. 被3整除
C. 被5整除
D. 被9整除

答案： B

12 若$M=(x - 3)(x - 5)$，$N=(x - 2)(x - 6)$，则$M$与$N$的关系为 （ ）
A. $M = N$
B. $M＞N$
C. $M＜N$
D. $M$与$N$的大小由$x$的取值而定

答案： B

13 如果多项式$ax + b$与$2x^{2}+2x + 3$的乘积展开式中不含$x$的二次项，且常数项为6，则$a^{b}$的值为________。

答案： 4

14 已知$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a＞b)$，分别以长度为$a$，$b$，$c$的线段为边长构造三个正方形，按如图所示的方式放置，则图中两阴影部分面积的大小关系为$S_{1}$________$S_{2}$。（填“＞”“=”或“＜”）

答案： =

15（易错题）计算：$\frac{1}{2}m(3m - n)-(m - n)(\frac{1}{2}m - n)$。

答案： m² + mn - n²

16 在计算$(x + a)(x + b)$时，甲把$b$错看成了6，得到的结果是$x^{2}+8x + 12$，求$a$的值。

答案： 2

17 新定义 新运算问题 对于任意有理数$a$，$b$，$c$，$d$，我们规定：$(a,b)\otimes(c,d)=ad - bc$，例如：$(1,3)\otimes(2,4)=1\times4 - 3\times2=-2$。
(1)$(-2,3)\otimes(1,6)$的值为________；
(2)求$(3a + 1,a - 2)\otimes(a + 2,a - 3)$的值，其中$2a^{2}-8a=-1$。

答案： -15@@0

18 新趋势 探究性问题 (1)填空：
$(a - b)(a + b)=$________；
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=$________；
$(a - b)(a^{3}+a^{2}b + ab^{2}+b^{3})=$________；
……
(2)猜想：
$(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b+\cdots+ab^{n - 2}+b^{n - 1})=$________。（其中$n\geq2$，$n$是正整数）
(3)应用：
①把$a^{5}-b^{5}$写成含有因式$(a - b)$的两个因式的乘积形式；
②简便计算：$3\times(2^{9}-2^{8}+2^{7}-2^{6}+2^{5}-2^{4}+2^{3}-2^{2}+2 - 1)$。

答案： a² - b²@@a³ - b³@@a⁴ - b⁴@@aⁿ - bⁿ@@(a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)@@2¹⁰ - 1