《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

12 对于等式(2x + □)² = 4x² + 12xy + △，△代表的是
( )
A. 3y
B. 9y
C. 9y²
D. 36y²

答案： C

13 三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，小
明用这些地砖刚好拼成一个正方形(无缝且不
重叠)，现有A类16块，B类48块，那么小明所
用C类地砖块数为 ( )

A. 36
B. 24
C. 12
D. 6

答案： A

14 如图所示的是正方形的房屋结构平面图，其中
主卧与客卧都是正方形，其面
积之和比其余面积(阴影部分)
多6.25 m²，则主卧与客卧的周
长差是 ( )

A. 5 m
B. 6 m
C. 10 m
D. 12 m

答案： C

15 已知a + b = 8，ab = c² + 16，则a + 2b + 3c = ________。

答案： 12

16 新情境 数学文化 杨辉三角可以解释二项式和的
乘方规律，观察下列各式及其展开式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²；
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³；
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴；
……
请你猜想(a + b)⁶的展开式中第三项的系数是
________。

答案： 15

17 (1)化简：(a + 1)² - (a + 1)(a - 1)-a(a - 2)；
(2)若a满足条件a² - 4a + 1 = 0，求(1)中代数式
的值。

答案： 解： - （1）原式 = $a^{2}+2a + 1-(a^{2}-1)-a^{2}+2a=a^{2}+2a + 1-a^{2}+1-a^{2}+2a=-a^{2}+4a + 2$。 - （2）因为$a^{2}-4a + 1 = 0$，所以$a^{2}-4a=-1$，所以原式 = $-(a^{2}-4a)+2=-(-1)+2=1 + 2=3$。

18 新定义 新运算问题 对于任意四个有理数a，b，c，
d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)。我
们规定：(a，b)⊗(c，d)=a² + d² - bc。例如：(1，2)
⊗(3，4)=1² + 4² - 2×3 = 11。
(1)若(2x，kx)⊗(y，-y)是一个完
全平方式，求常数k的值；
(2)若2x + y = 12，且(3x + y，2x² + 3y²)
⊗(3，x - 3y)=104，求xy的值；
(3)在(2)的条件下，将长方形ABCD及长方形
CEFG按照如图方式放置，其中点E，G分别在
CD，BC边上，连接BD，BF，DF，EG。若AB = 2x，
BC = 8x，CE = y，CG = 4y，求图中阴影部分的面积。

答案： 解： - （1）$(2x,kx)\otimes(y,-y)=(2x)^{2}+(-y)^{2}-kxy=4x^{2}-kxy + y^{2}$。因为$4x^{2}-kxy + y^{2}$是一个完全平方式，所以$k = 4$或 - 4。 - （2）$(3x + y,2x^{2}+3y^{2})\otimes(3,x - 3y)=(3x + y)^{2}+(x - 3y)^{2}-3(2x^{2}+3y^{2})=9x^{2}+6xy + y^{2}+x^{2}-6xy + 9y^{2}-6x^{2}-9y^{2}=4x^{2}+y^{2}=(2x + y)^{2}-4xy = 104$。因为$2x + y = 12$，所以$12^{2}-4xy = 104$，所以$xy = 10$。 - （3）$S_{三角形BDC}=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot8x = 8x^{2}$，$S_{三角形BCF}=\frac{1}{2}(8x - 4y)\cdot y = 4xy-2y^{2}$，$S_{三角形DEF}=\frac{1}{2}\cdot4y\cdot(2x - y)=4xy-2y^{2}$，$S_{三角形GEC}=\frac{1}{2}\cdot4y\cdot y = 2y^{2}$，所以$S_{阴影}=8x^{2}-(4xy-2y^{2})-(4xy-2y^{2})-2y^{2}=8x^{2}-4xy + 2y^{2}-4xy + 2y^{2}-2y^{2}=2(4x^{2}+y^{2}-4xy)=2[(2x + y)^{2}-8xy]$。因为$2x + y = 12$，$xy = 10$，所以$S_{阴影}=2×(12^{2}-8×10)=128$。 核心素养：考查了核心素养中的运算能力，掌握完全平方公式及其变形是解题关键。