《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

1 先化简，再求值：$(2m + n)^2 - 4(m - 2n)(m + 2n)$，其中$m = -2$，$n = -1$。

答案： 解：$(2m + n)^2 - 4(m - 2n)(m + 2n)$ $= 4m^2 + 4mn + n^2 - 4(m^2 - 4n^2)$ $= 4m^2 + 4mn + n^2 - 4m^2 + 16n^2$ $= 17n^2 + 4mn$。 当$m = -2$，$n = -1$时， 原式$= 17×(-1)^2 + 4×(-2)×(-1)=17 + 8 = 25$。

2（河南郑州二七区期末）先化简，再求值：$[(2x - 3y)^2 - (x - y)(x + y) - 3x(x - 2y)]\div(-2y)$，其中$x = -1$，$y = 2$。

答案： 解：$[(2x - 3y)^2 - (x - y)(x + y) - 3x(x - 2y)]÷(-2y)$ $=(4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + y^2 - 3x^2 + 6xy)÷(-2y)$ $=(-6xy + 10y^2)÷(-2y)$ $= 3x - 5y$。 当$x = -1$，$y = 2$时，原式$= 3×(-1) - 5×2 = -3 - 10 = -13$。

3 先化简，再求值：$(2 + a)(2 - a) + a(a - 5b) + 3a^5b^3\div(-a^2b)^2$，其中$ab = -1011$。

答案： 解：$(2 + a)(2 - a) + a(a - 5b) + 3a^5b^3÷(-a^2b)^2 = 4 - a^2 + a^2 - 5ab + 3a^5b^3÷a^4b^2 = 4 - a^2 + a^2 - 5ab + 3ab = 4 - 2ab$， 当$ab = -1011$时，原式$= 4 - 2×(-1011)=4 + 2022 = 2026$。

4 已知$m = 2n + 1$，那么$(m - n)(m - 3n) + (m - 2n)^2$的值是多少？

答案： 解：因为$m = 2n + 1$，所以$m - 2n = 1$。 所以原式$=(m - 2n + n)(m - 2n - n)+(m - 2n)n^2$ $=(1 + n)(1 - n)+n^2 = 1 - n^2 + n^2 = 1$。

5（河南新乡期末）先化简，再求值：$2x^2y - 3x(2xy - y^2) + 2(-xy^2 + 3x^2y)$，其中$\vert x - \frac{2}{3}\vert + (y + 2)^2 = 0$。

答案： 解：$2x^2y - 3x(2xy - y^2)+2(-xy^2 + 3x^2y)$ $= 2x^2y - 6x^2y + 3xy^2 - 2xy^2 + 6x^2y$ $= 2x^2y + xy^2$。 因为$\vert x - \frac{2}{3}\vert+(y + 2)^2 = 0$，所以$x - \frac{2}{3}=0$，$y + 2 = 0$，所以$x = \frac{2}{3}$，$y = -2$。 当$x = \frac{2}{3}$，$y = -2$时， 原式$= 2×(\frac{2}{3})^2×(-2)+\frac{2}{3}×(-2)^2 = -\frac{16}{9}+\frac{8}{3}=\frac{8}{9}$。

6 已知$m^2 + \frac{1}{2}m - 1 = 0$，求代数式$(m + 2)(2m - 1) - (m + 1)^2 + (m + 2)(m - 2)$的值。

答案： 解：$(m + 2)(2m - 1)-(m + 1)^2+(m + 2)(m - 2)=2m^2 - m + 4m - 2 - m^2 - 2m - 1 + m^2 - 4 = 2m^2 + m - 7$。因为$m^2+\frac{1}{2}m - 1 = 0$，所以$m^2+\frac{1}{2}m = 1$，所以$2m^2 + m = 2$，所以原式$= 2 - 7 = -5$。