《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

7 已知$a^2 + \frac{1}{4}b^2 = 2a - b - 2$，化简并求值：$(2a - b)(2a + b) - a(4a - 1) + (b - 2)^2$。

答案： 解：$(2a - b)(2a + b)-a(4a - 1)+(b - 2)^2 = 4a^2 - b^2 - 4a^2 + a + b^2 - 4b + 4 = a - 4b + 4$。因为$a^2+\frac{1}{4}b^2 = 2a - b - 2$，所以$a^2 - 2a + 1+\frac{1}{4}b^2 + b + 1 = 0$，所以$(a - 1)^2+(\frac{1}{2}b + 1)^2 = 0$，所以$a - 1 = 0$，$\frac{1}{2}b + 1 = 0$，解得$a = 1$，$b = -2$。当$a = 1$，$b = -2$时，原式$= 1 - 4×(-2)+4 = 1 + 8 + 4 = 13$。

8 已知$M = x^2 + 2x + a$，$N = x$，$P = x^3 + 2x^2 - 5x + 2$，且$M\cdot N - P$的值与$x$无关，则$a$的值是多少？

答案： 解：$M\cdot N - P = x(x^2 + 2x + a)-(x^3 + 2x^2 - 5x + 2)=x^3 + 2x^2 + ax - x^3 - 2x^2 + 5x - 2=(a + 5)x - 2$。 因为$M\cdot N - P$的值与$x$无关，所以$a + 5 = 0$，所以$a = -5$。

9 已知$(x + a)(x - \frac{3}{2})$的结果中不含$x$的一次项，则$(a + 2)^2 - (1 - a)(-a - 1)$的值为多少？

答案： 解：$(x + a)(x - \frac{3}{2})=x^2 - \frac{3}{2}x + ax - \frac{3}{2}a = x^2+(-\frac{3}{2}+a)x - \frac{3}{2}a$。 因为$(x + a)(x - \frac{3}{2})$的结果中不含$x$的一次项， 所以$-\frac{3}{2}+a = 0$，解得$a = \frac{3}{2}$。 $(a + 2)^2-(1 - a)(-a - 1)=a^2 + 4a + 4 - a^2 + 1 = 4a + 5$。 当$a = \frac{3}{2}$时，原式$= 4×\frac{3}{2}+5 = 6 + 5 = 11$。

10 已知$a + b = 3$，$ab = -12$，求下列各式的值。
(1)$a^2 - ab + b^2$；
(2)$(a - b)^2$。

答案： 解：
(1)$a^2 - ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 3ab=(a + b)^2 - 3ab = 3^2 - 3×(-12)=9 + 36 = 45$。
(2)$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab = 3^2 - 4×(-12)=9 + 48 = 57$。

11 新定义 新运算问题 对有理数$a$，$b$，$c$，$d$，定义新运算“$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$”，规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，请你根据新定义解答下列问题：
(1)计算$\begin{vmatrix}2x - 3y&4x\\x - 5&2x + 3y\end{vmatrix}$；
(2)当$x = \frac{1}{5}$，$y = -\frac{2}{3}$时，求上式的值。

答案： 解：
(1)由题意可得， $\begin{vmatrix}2x - 3y&4x\\x - 5&2x + 3y\end{vmatrix}=(2x - 3y)(2x + 3y)-4x(x - 5)=4x^2 - 9y^2 - 4x^2 + 20x = -9y^2 + 20x$。
(2)当$x = \frac{1}{5}$，$y = -\frac{2}{3}$时， $-9y^2 + 20x = -9×(-\frac{2}{3})^2 + 20×\frac{1}{5}=-9×\frac{4}{9}+4 = -4 + 4 = 0$。