《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

10 老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为5 cm，9 cm，10 cm，要求只能对10 cm的小木棍进行裁剪(裁剪后长度为整数)。同学们最多能做出不同的三角形木架的个数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 6
D. 10

答案： C

11 四根长度分别为2 cm，3 cm，5 cm，7 cm的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是 （ ）
A. 10 cm
B. 15 cm
C. 14 cm
D. 12 cm

答案： B

12 新定义 新概念问题 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________。

答案： 6

13 新趋势 多模块综合 已知a，b，c为△ABC的三条边且x = 2^{a + b}，y = 2^{a - b}，z = 2^{c}，请写出x，y，z的大小关系，并用“＞”连接________。

答案： x ＞ z ＞ y

14 已知△ABC的三边长是a，b，c。
(1)若a = 6，b = 8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值；
(2)化简|a + b - c|+|c - a - b|。

答案： 解：
(1)因为△ABC的三边长是a，b，c，a = 6，b = 8， 所以8 - 6 c 8 + 6，即2 c 14。 因为三角形的周长是小于22的偶数， 所以2 c 8，所以c = 4或6。
(2)由三角形三边关系，得a + b ＞ c， 所以a + b - c ＞ 0，c - a - b 0， 所以|a + b - c| + |c - a - b| = a + b - c - (c - a - b) = a + b - c + c + a + b = 2a + 2b - 2c。

15（易错题）现有一根长30 cm的细铁丝，用这根铁丝能围成一个有一边长为6 cm的等腰三角形吗？若能，求出其腰长和底边长；若不能，说明理由。

答案： 解：能围成一个有一边长为6 cm的等腰三角形。 分类讨论如下：当腰长为6 cm时，三角形的三边长分别为6 cm，6 cm，18 cm，这样的三角形不存在； 当底边长为6 cm时，三角形的三边长分别为12 cm，12 cm，6 cm，这个三角形存在，其腰长为12 cm，底边长为6 cm。 

16 如图，已知四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，试说明：AC与BD的和小于四边形ABCD的周长。

答案： 解：在△ABD中，AD + AB ＞ BD，在△BCD中，CD + BC ＞ BD， 在△ACD中，AD + CD ＞ AC，在△ABC中，AB + BC ＞ AC， 所以AD + AB + CD + BC + AD + CD + AB + BC ＞ BD + BD + AC + AC， 所以2(AD + AB + CD + BC) ＞ 2(AC + BD)， 所以AD + AB + CD + BC ＞ AC + BD， 所以AC与BD的和小于四边形ABCD的周长。

17 新定义 新概念问题 若三边均不相等的三角形三边长a，b，c满足a - b＞b - c(a为最长边，c为最短边)，则称它为“不均衡三角形”。例如，一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7 - 5＞5 - 4，所以这个三角形为“不均衡三角形”。
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________；(填序号)
①4 cm，2 cm，1 cm ②13 cm，18 cm，9 cm
③9 cm，8 cm，6 cm ④19 cm，20 cm，19 cm
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为22，16，x(x为整数，x＜16)，求x的值。
视频解题

答案： ②@@解：
(1)② 提示：①因为1 + 2 4，所以4 cm，2 cm，1 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”； ②因为18 - 13 ＞ 13 - 9，所以13 cm，18 cm，9 cm的小木棍能组成“不均衡三角形”； ③因为9 - 8 8 - 6，所以9 cm，8 cm，6 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”； ④因为19 = 19，所以19 cm，20 cm，19 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”。
(2)由题意，得22 - 16 x 16，且22 - 16 ＞ 16 - x， 所以x的取值范围是10 x 16。 又因为x是整数，所以x的值是11，12，13，14，15。 核心素养 此题考查了核心素养中的推理能力，理解并掌握“不均衡三角形”的定义是解题的关键。