《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

典例1 如图，已知AB//DE，∠1=25°，∠C=45°，则∠2的度数为 （ ）
A. 70°
B. 50°
C. 20°
D. 35°

答案： C

1 新趋势 规律探究题 如图，已知AB//CD，CE，BE的交点为点E，现进行如下操作：
第一次操作：分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为点E₁；
第二次操作：分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为点E₂；
第三次操作：分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为点E₃；
……
第n次操作：分别作∠ABEₙ₋₁和∠DCEₙ₋₁的平分线，交点为点Eₙ。

（1）如图1，试说明：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，试说明：∠BE₂C=¼∠BEC；
（3）猜想：若∠BEC=α，那么∠BEₙC的度数为多少?（直接写出结论）

答案：
解：
(1)如图，过点E作EF//AB。
 因为AB//CD，所以AB//EF//CD， 所以∠B = ∠1，∠C = ∠2， 所以∠BEC = ∠1 + ∠2 = ∠ABE + ∠DCE。
(2)因为∠ABE和∠DCE的平分线交点为点E₁， 所以由
(1)可得，∠BE₁C = ∠ABE₁ + ∠DCE₁ = $\frac{1}{2}$∠ABE + $\frac{1}{2}$∠DCE = $\frac{1}{2}$(∠ABE + ∠DCE) = $\frac{1}{2}$∠BEC。 因为∠ABE₁和∠DCE₁的平分线交点为点E₂， 所以由
(1)可得，∠BE₂C = ∠ABE₂ + ∠DCE₂ = $\frac{1}{2}$∠ABE₁ + $\frac{1}{2}$∠DCE₁ = $\frac{1}{2}$(∠ABE₁ + ∠DCE₁) = $\frac{1}{2}$∠BE₁C = $\frac{1}{4}$∠BEC。
(3)由
(2)知∠BE₂C = $\frac{1}{4}$∠BEC。 因为∠ABE₂和∠DCE₂的平分线交点为点E₃， 所以∠BE₃C = ∠ABE₃ + ∠DCE₃ = $\frac{1}{2}$∠ABE₂ + $\frac{1}{2}$∠DCE₂ = $\frac{1}{2}$(∠ABE₂ + ∠DCE₂) = $\frac{1}{2}$∠BE₂C = $\frac{1}{8}$∠BEC = $\frac{1}{2^{3}}$∠BEC；…； 以此类推，∠BEₙC = $\frac{1}{2^{n}}$∠BEC。 所以当∠BEC = α时，∠BEₙC = $\frac{\alpha}{2^{n}}$。

典例2 如图，AB//CD，若∠E=55°，则∠B+∠D= （ ）
A. 125°
B. 180°
C. 250°
D. 305°

答案： D

2 新趋势 规律探究题 （1）如图1，MA₁//NA₂，则∠A₁+∠A₂=________；
如图2，MA₁//NA₃，则∠A₁+∠A₂+∠A₃=________；

如图3，MA₁//NA₄，则∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄=________；
如图4，MA₁//NA₅，则∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅=________；
（2）如图5，MA₁//NAₙ，则∠A₁+∠A₂+∠A₃+⋯+∠Aₙ=________。

答案： 180°@@360°@@540°@@720°@@(n - 1)180°