《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

典例3 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F。若AB = 5，BC = 4，AC = 6，则CE:AD:BF的值为________。

学霸说 三角形的三条高线交于一点，所以BF⊥AC。由三角形的面积公式可得到AB·CE = BC·____ = AC·____，代入数值后再根据各系数的最小公倍数即可得到CE:AD:BF的值。

答案： 12 : 15 : 10@@AD@@BF

3 如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB = 6 cm，AC = 8 cm，BC = 10 cm，∠CAB = 90°。
试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差。

答案： 解： （1）因为∠CAB = 90°，AD是BC边上的高， 所以$\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，等面积法。 所以$AD=\frac{6×8}{10}=4.8$（cm），即AD的长为4.8 cm。 （2）方法一：因为△ABC是直角三角形， ∠CAB = 90°，AB = 6 cm，AC = 8 cm， 所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$（$cm^{2}$）。 又因为AE是BC边上的中线，所以BE = EC， 所以$\frac{1}{2}BE\cdot AD=\frac{1}{2}EC\cdot AD$，即$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$， 所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12$（$cm^{2}$）， 所以△ABE的面积是12 $cm^{2}$。 方法二：因为$BE=\frac{1}{2}BC = 5$ cm，由（1）知AD = 4.8 cm， 所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot AD=\frac{1}{2}×5×4.8 = 12$（$cm^{2}$）， 所以△ABE的面积是12 $cm^{2}$。 （3）因为AE为BC边上的中线，所以BE = CE， 所以△ACE的周长 - △ABE的周长 = AC + CE + AE - (AB + BE + AE) = AC - AB = 8 - 6 = 2（cm）， 所以△ACE和△ABE的周长的差是2 cm。

典例4 新趋势 探究性问题 (1)如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B，∠C之间的数量关系吗？并说明理由；
(2)如图2，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B，∠C之间又有何数量关系？并说明理由。


学霸说 (1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义表示出∠EAC，再根据直角三角形两锐角____表示出∠DAC，然后表示出∠EAD，整理即可得解；
(2)过点A作AD⊥BC于点D，根据两直线平行，__________可得∠EFM = ∠EAD，再根据(1)的结论解答。

答案：
互余@@同位角相等
@@（1）$∠EAD=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$。理由如下： 因为AE平分∠BAC， 所以$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180° - ∠B - ∠C)$。 又因为AD⊥BC，所以∠DAC = 90° - ∠C， 所以$∠EAD = ∠EAC - ∠DAC=\frac{1}{2}(180° - ∠B - ∠C)-(90° - ∠C)=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$，即$∠EAD=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$。 （2）$∠EFM=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$。理由如下： 如图，过点A作AD⊥BC于点D。因为FM⊥BC，所以AD//FM， 所以$∠EFM = ∠EAD=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$。

4 如图，已知BD，CE是△ABC的角平分线，其交点为O，OF⊥BC于F。试说明：∠BOF = ∠BEC - $\frac{1}{2}$∠A。

答案： 解：因为OF⊥BC，所以∠OFB = 90°， 所以∠BOF = 90° - ∠OBF。 因为BD，CE是△ABC的角平分线， 所以$∠OBF=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$。 所以$∠BOF = 90°-\frac{1}{2}∠ABC$。 因为∠BEC = 180° - ∠AEC = ∠A + ∠ACE， 所以$∠BEC = ∠A+\frac{1}{2}∠ACB$， 所以$∠BEC-\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}(∠A + ∠ACB)$。 因为∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°， 所以$∠BEC-\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{2}(180° - ∠ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ABC$， 所以$∠BOF = ∠BEC-\frac{1}{2}∠A$。