《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

11（易错题）$4a^{7}b^{5}c^{3}\div(-16a^{3}b^{2}c)\div\frac{1}{8}a^{4}b^{3}c^{2}$等于（ ）
A. $a$
B. 1
C. -2
D. -1

答案： C

12（河南周口鹿邑县期末）小亮在计算$(6x^{3}y - 3x^{2}y^{2})\div3xy$时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确的结果与错误的结果的乘积是 （ ）
A. $2x^{2}-xy$
B. $2x^{2}+xy$
C. $4x^{4}-x^{2}y^{2}$
D. $4x^{4}+x^{2}y^{2}$

答案： C

13 如果$m(x^{a}y^{b})^{3}\div(2x^{3}y^{2})^{2}=\frac{1}{8}x^{3}y^{2}$，则$m,a,b$的值分别为 。

答案： $\frac{1}{2},3,2$

14 某个游泳池的长为$4a^{2}b$，宽为$ab^{2}$，高为$ab$，若要在它的四周及底部贴上边长为$b$的正方形防渗漏瓷砖，则至少需要瓷砖 块。

答案： $4a^{3}b + 2a^{2}b+8a^{3}$

15 先化简，再求值：$[(2a + b)(2a - b)-(a + b)^{2}+b(2b - a)]\div3a$，其中$|a - 3|+(b + 2)^{2}=0$。

答案： 解：因为$\vert a - 3\vert+(b + 2)^{2}=0$，所以$a - 3 = 0$，$b + 2 = 0$，所以$a = 3$，$b=-2$。原式$=(4a^{2}-b^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab + 2b^{2}-ab)\div3a=(3a^{2}-3ab)\div3a=a - b=3-(-2)=5$。

16 科技进步 5G是第五代移动通信技术，具有高速率、低时延和大连接的特点。小明家的网络换上了5G，他在家中测得的下载速度为$720$Mbps，问：他要下载$1.08\times10^{7}$KB的文件大约需要几分钟?（已知$1$MB/s = 8Mbps，$1$MB≈$1000$KB）

答案： 解：$720\ Mbps = 90\ MB/s\approx9\times10^{4}\ KB/s$，$(1.08\times10^{7})\div(9\times10^{4})=0.12\times10^{3}=1.2\times10^{2}(s)=2(min)$。 因此，他要下载$1.08\times10^{7}\ KB$的文件大约需要 2 min。

17 数学课上老师出了一道题：计算$[8(a + b)^{5}-4(a + b)^{4}+(-a - b)^{3}]\div2(a + b)^{3}$。爱好数学的小明马上举手，下面是小明同学的解题过程。
$[8(a + b)^{5}-4(a + b)^{4}+(-a - b)^{3}]\div2(a + b)^{3}$
$=[8(a + b)^{5}-4(a + b)^{4}+(a + b)^{3}]\div8(a + b)^{3}$
$=(a + b)^{2}-\frac{1}{2}(a + b)+\frac{1}{8}$。
小亮也举起了手，说小明的解题过程不对，并指了出来。老师肯定了小亮的回答。你知道小明错在哪儿吗？请指出来，并写出正确的过程。

答案： 解：第一步中两处错误：①$(-a - b)^{3}=(a + b)^{3}$不对，②$2(a + b)^{3}=8(a + b)^{3}$不对。 正确的过程： $[8(a + b)^{5}-4(a + b)^{4}+(-a - b)^{3}]\div2(a + b)^{3}$ $=[8(a + b)^{5}-4(a + b)^{4}-(a + b)^{3}]\div2(a + b)^{3}$ $=4(a + b)^{2}-2(a + b)-\frac{1}{2}$。

18 新趋势 阅读理解题 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算。例如：$(7x + 2+6x^{2})\div(2x + 1)$仿照$672\div21$计算如下：

因此$(7x + 2+6x^{2})\div(2x + 1)=3x + 2$。
(1)阅读上述材料后，试判断$x^{3}-x^{2}-5x - 3$能否被$x + 1$整除，说明理由；
(2)利用上述方法解决：若多项式$2x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+7x + b$能被$x^{2}+x - 2$整除，求$\frac{a}{b}$的值。

答案：