《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

3 已知$EF// BC$，$BE// CF$，现将直角三角尺$OAB$（$\angle OAB = 45^{\circ}$）和直角三角尺$OCD$（$\angle OCD = 30^{\circ}$）按如图所示放置，直角顶点$O$重合，点$A$，$D$在$EF$上。已知$\angle1+\angle2 = 30^{\circ}$，$\angle3:\angle4 = 3:2$，则$\angle DAB$的度数为（ ）

A. $85^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $95^{\circ}$
D. $100^{\circ}$

答案： B

典例4 如图，把一张长方形纸条$ABCD$沿$EF$折叠，若$\angle BGD' = x^{\circ}$，则$\angle1$的度数为（ ）
A. $(90 - x)^{\circ}$
B. $(90-\frac{1}{2}x)^{\circ}$
C. $(120 - x)^{\circ}$
D. $(120-\frac{1}{2}x)^{\circ}$

答案： $\angle EGF$@@$\angle DEG$@@$\angle GEF$@@B

4 如图，在三角形$ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB = \alpha$，按图进行翻折，使$MD// NG// BC$，$ME// FG$，则$\angle NFE$的度数是__________。

答案： $2\alpha - 180^{\circ}$

典例5 新趋势 动点探究题 如图，点$P$是射线$AB$上一动点，连接$CP$，过点$P$作$PE// BC$。若$\angle ABC = 84^{\circ}$，$\angle CPE = 20^{\circ}$，求$\angle APC$的度数。

答案：
线段$AB$@@线段$AB$的延长线@@当点$P$在线段$AB$上时，如图1所示。
 因为$PE// BC$，$\angle ABC = 84^{\circ}$，所以$\angle APE=\angle ABC = 84^{\circ}$。 因为$\angle CPE = 20^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle APE+\angle CPE = 84^{\circ}+20^{\circ}=104^{\circ}$。 当点$P$在线段$AB$的延长线上时，如图2所示。 因为$PE// BC$，$\angle ABC = 84^{\circ}$，所以$\angle APE=\angle ABC = 84^{\circ}$。 因为$\angle CPE = 20^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle APE-\angle CPE = 84^{\circ}-20^{\circ}=64^{\circ}$。 综上所述，$\angle APC$的度数为$104^{\circ}$或$64^{\circ}$。

5 新趋势 动点探究题 如图，$AC// BD$，$BC$平分$\angle ABD$，设$\angle ACB$为$\alpha$，点$E$是射线$BC$上的一个动点。若$\angle BAE:\angle CAE = 3:1$，则$\angle CAE$的度数为__________。（用含$\alpha$的代数式表示）

答案： $45^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$或$90^{\circ}-\alpha$