《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

9 具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是 ( )
A. 有两个角对应相等的两个三角形
B. 两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形
C. 两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形
D. 有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形

答案： C

10 如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③AD=BE，④AE+BD=AB，其中正确的说法有 。(填序号)

答案： 1 3 4

11 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°。点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，AD=AE。
(1)当点D在线段BC上时，如图1，试说明：△ABD≌△ACE；
(2)当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由。

答案： 解：
(1)因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle DAC$，$\angle CAE = 90^{\circ}-\angle DAC$，所以$\angle BAD=\angle CAE$。 在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，因为$BA = CA$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AD = AE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
(2)$CE\perp BC$。理由：因为$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC-\angle BAE=\angle DAE-\angle BAE$，所以$\angle BAD=\angle CAE$。 在$\triangle DAB$与$\triangle EAC$中，因为$AD = AE$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AB = AC$，所以$\triangle DAB\cong\triangle EAC$，所以$\angle ABD=\angle ACE$。 因为$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ACE = 135^{\circ}$，所以$\angle BCE=\angle ACE-\angle ACB = 135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$，即$CE\perp BC$。

12 新趋势 综合与实践【问题提出】
(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，探究当∠EAF为多少度时，使得BE+DF=EF成立。小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先说明△ABE≌△ADG，再说明△AEF≌△AGF，则可求出∠EAF的度数为 ；
【问题探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有BE+DF=EF成立? 并说明理由；
【问题解决】
(3)如图3，在正方形ABCD中，∠EBF=45°，若△DEF的周长为8，求正方形ABCD的面积。

答案：
$60^{\circ}$@@解：
(1)$60^{\circ}$ 因为$\triangle ABE\cong\triangle ADG$，所以$\angle BAE=\angle DAG$。 因为$\triangle AEF\cong\triangle AGF$，所以$\angle EAF=\angle GAF=\angle DAF+\angle DAG=\angle DAF+\angle BAE$。 因为$\angle BAD = 120^{\circ}$，所以$\angle EAF = 60^{\circ}$。
(2)$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$时，$BE + DF = EF$成立。理由如下： 如图，延长$FD$到点$H$，使$DH = BE$，连接$AH$。因为$\angle B+\angle ADF = 180^{\circ}$，$\angle ADH+\angle ADF = 180^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ADH$。（同角的补角相等） 在$\triangle ABE$和$\triangle ADH$中，因为$AB = AD$，$\angle B=\angle ADH$，$BE = DH$，所以$\triangle ABE\cong\triangle ADH$，所以$\angle BAE=\angle DAH$，$AE = AH$，所以$\angle BAE+\angle DAF=\angle DAF+\angle DAH=\angle HAF$。 因为$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle EAF=\angle BAE+\angle DAF=\angle HAF$。 在$\triangle EAF$和$\triangle HAF$中，因为$AE = AH$，$\angle EAF=\angle HAF$，$AF = AF$，所以$\triangle EAF\cong\triangle HAF$，所以$EF = HF = DH + DF = BE + DF$。
(3)因为四边形$ABCD$为正方形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$。 因为$\angle EBF = 45^{\circ}$，所以$\angle EBF=\frac{1}{2}\angle ABC$，所以$EF = AE + CF$。 因为$\triangle DEF$的周长为$8$，所以$DE + DF + EF = 8$，所以$DE + DF + AE + CF = 8$，所以$AD = CD = 4$，所以正方形$ABCD$的面积为$4^{2}=16$。