《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

11 (12分)如图,已知点A,F,C,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,AB//DE,连接BC,BF,CE。试说明:△ABC≌△DEF。

答案： 解：因为AF = CD，所以AF + FC = CD + CF，所以AC = DF。 因为AB//DE，所以∠A = ∠D。 在△ABC和△DEF中，因为AC = DF，∠A = ∠D，AB = DE， 所以△ABC≌△DEF。

12 (12分)如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE。试判断BD和CE的数量关系和位置关系,并说明理由。

答案：
解：BD = CE，BD⊥CE。理由： 如图，设AB，BD与CE分别交于点O，Q。因为AB⊥AC，AD⊥AE， 所以∠BAC = ∠DAE = 90°， 所以∠DAE + ∠BAE = ∠BAC + ∠BAE，即∠BAD = ∠CAE。 在△ABD和△ACE中， 因为AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE， 所以△ABD≌△ACE， 所以∠ABD = ∠ACE，BD = CE。 因为∠ACO + ∠AOC = 90°，∠AOC = ∠BOQ， 所以∠OBQ + ∠BOQ = 90°，所以∠BQO = 90°，所以BD⊥CE。

13 (12分)如图所示,点M是线段AB上一点,ED是过点M的一条直线,连接AE,BD,过点B作BF//AE交ED于F,且M为AB中点。
(1)若AE=5,求BF的长;
(2)若∠AEC=90°,∠DBF=∠CAE,试说明:CD=FE。

答案： 解：
(1)因为BF//AE， 所以∠EAM = ∠FBM，∠E = ∠BFM， 因为M为AB中点，所以AM = BM。 在△AEM和△BFM中， 因为∠E = ∠BFM，∠EAM = ∠FBM，AM = BM， 所以△AEM≌△BFM，所以AE = BF = 5。
(2)因为BF//AE，所以∠AEC = ∠BFM = 90°， 所以∠BFD = 180° - 90° = 90°，所以∠AEC = ∠BFD。 由
(1)知，AE = BF。 在△ACE和△BDF中， ∠CAE = ∠DBF，AE = BF，∠AEC = ∠BFD， 所以△ACE≌△BDF，所以CE = DF， 所以DF - CF = CE - CF，即CD = FE。

14 (14分)新趋势 综合与实践【操作探索】
在生活中,我们常用实物体验图形变换的过程。小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作:
如图1,已知四边形ABDC,AB=AC,BD=CD。
(1)操作一:沿AD所在的直线对折,如图1。你认为左右两侧对折后能完全重合吗? 并说明理由。
(2)操作二:对折后,将风筝纸片剪成两个三角形(△ABD和△ACD'),摆成如图2所示的图形,BD与AD'相交于点E,AD与CD'相交于点F。试说明:BE=CF。
【应用拓展】
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,BD=3CD,点E,F在线段AD上,∠AEB=∠AFC=130°,∠BAC=50°,若△ABC的面积为24,求△ABE与△CDF的面积之和。

答案： 解：
(1)能完全重合。理由如下： 在△ABD与△ACD中，因为AB = AC，BD = CD，AD = AD， 所以△ABD≌△ACD，所以对折后能完全重合。
(2)同理得出△ABD≌△ACD'， 所以∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD'， 所以∠BAD - ∠D'AD = ∠CAD' - ∠D'AD， 即∠BAE = ∠CAF。 在△ABE和△ACF中， 因为∠B = ∠C，AB = AC，∠BAE = ∠CAF， 所以△ABE≌△ACF， 所以BE = CF。
(3)因为∠AEB = 130°， 所以∠EAB + ∠ABE = 180° - ∠AEB = 50°。 因为∠BAC = ∠EAB + ∠CAF = 50°，所以∠ABE = ∠CAF。 在△ABE和△CAF中， 因为∠AEB = ∠CFA，∠ABE = ∠CAF，AB = CA， 所以△ABE≌△CAF，所以$S_{\triangle ABE}$ = $S_{\triangle CAF}$， 所以$S_{\triangle ABE}$ + $S_{\triangle CDF}$ = $S_{\triangle CAF}$ + $S_{\triangle CDF}$ = $S_{\triangle CAD}$。 因为BD = 3CD，所以CD : BC = 1 : 4，所以$S_{\triangle CAD}$ : $S_{\triangle ABC}$ = 1 : 4。 因为$S_{\triangle ABC}$ = 24，所以$S_{\triangle CAD}$ = 6，即$S_{\triangle ABE}$ + $S_{\triangle CDF}$ = 6。