《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

11 如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有 ( )

A. △ABD≌△AFD
B. △AFE≌△ADC
C. △AEF≌△ACB
D. △ABC≌△ADE

答案： D

12 (湖南长沙阶段练习)如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点E，AD=6 cm，AB=10 cm，则BE的长度为 ( )

A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 2 cm

答案： D

13 新情境 生产生活 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF=1 m，BE=CD=20 m，BD=58 m，则单元楼AB的高为 m。

答案： 39

14 已知，如图，E，F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，试说明：AC与BD互相平分。

答案： 解：因为$BF = DE$，所以$BF - EF = DE - EF$，即$BE = DF$。 在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，因为$AB = CD$，$BE = DF$，$AE = CF$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF$，所以$\angle B=\angle D$。 在$\triangle ABO$和$\triangle CDO$中，因为$\angle B=\angle D$，$\angle AOB=\angle COD$，$AB = CD$，所以$\triangle ABO\cong\triangle CDO$，所以$AO = CO$，$BO = DO$，即$AC$与$BD$互相平分。

15 新趋势 探究性问题 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD。
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F，试说明：△ACD≌△EFA；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交直线AC于点M，试探究BM与EM的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于点M，若AC=4CM，请直接写出\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle AEM}}的值。

答案：
解：
(1)因为$AE\perp AD$，$EF\perp AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE=\angle ACB=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEF=\angle DAC = 90^{\circ}-\angle EAF$，在$\triangle AEF$和$\triangle DAC$中，$\angle AFE=\angle ACB$，$\angle AEF=\angle DAC$，$AE = DA$，所以$\triangle AEF\cong\triangle DAC$。
(2)$BM = EM$。理由：如图2，作$EF\perp CM$交$CM$的延长线于点$F$， 因为$\angle F = 90^{\circ}$，$\angle ACD = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle F=\angle ACD=\angle MCB$，$\angle FAE=\angle CDA = 90^{\circ}-\angle CAD$，在$\triangle FAE$和$\triangle CDA$中，因为$\angle F=\angle ACD$，$\angle FAE=\angle CDA$，$AE = DA$，所以$\triangle FAE\cong\triangle CDA$，所以$EF = AC = BC$。 在$\triangle BMC$和$\triangle EMF$中，因为对顶角相等，$\angle MCB=\angle F$，$\angle BMC=\angle EMF$，$BC = EF$，所以$\triangle BMC\cong\triangle EMF$，所以$BM = EM$。
(3)$\frac{2}{5}$或$\frac{2}{3}$。 如图3，当点$D$在$CB$的延长线上时，作$EF\perp AM$交$AM$的延长线于点$F$，则$\angle F=\angle ACD = 90^{\circ}$。因为$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle FAE=\angle D = 90^{\circ}-\angle DAC$。 在$\triangle AFE$和$\triangle DCA$中，$\angle F=\angle ACD$，$\angle FAE=\angle D$，$AE = DA$，所以$\triangle AFE\cong\triangle DCA$，所以$AF = DC$，$EF = AC = BC$，所以$AF - AC = DC - BC$，所以$CF = DB$。 因为$\angle BCM = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle F=\angle BCM$，在$\triangle EFM$和$\triangle BCM$中，$\angle F=\angle BCM$，$\angle EMF=\angle BMC$，$EF = BC$，所以$\triangle EFM\cong\triangle BCM$，所以$FM = CM$。 设$FM = CM = m$，则$DB = CF = 2m$。 因为$AC = 4CM$，所以$AC = 4m$，所以$AM = 5m$， 所以$S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}DB\cdot AC=\frac{1}{2}\times2m\cdot AC=m\cdot AC$， $S_{\triangle AEM}=\frac{1}{2}AM\cdot EF=\frac{1}{2}\times5m\cdot AC=\frac{5}{2}m\cdot AC$， 所以$\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle AEM}}=\frac{m\cdot AC}{\frac{5}{2}m\cdot AC}=\frac{2}{5}$，所以$\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle AEM}}$的值为$\frac{2}{5}$。 如图4，当点$D$在线段$BC$上时，设$CM = FM = n$，则$BD = CF = 2n$。 因为$AC = 4CM$，所以$AC = 4n$，所以$AM = 3n$， 所以$S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}DB\cdot AC=\frac{1}{2}\times2n\cdot AC=n\cdot AC$， $S_{\triangle AEM}=\frac{1}{2}AM\cdot EF=\frac{1}{2}\times3n\cdot AC=\frac{3}{2}n\cdot AC$， 所以$\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle AEM}}=\frac{n\cdot AC}{\frac{3}{2}n\cdot AC}=\frac{2}{3}$。 综上所述，$\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle AEM}}$的值为$\frac{2}{5}$或$\frac{2}{3}$。 **核心素养**：本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键。体现了核心素养中的几何直观和推理能力。

1 新情境 生产生活 如图是工厂里常用的可用于测量零件内槽宽的工具(卡钳)，它由两根等长的钢条AA'和BB'在中点处连接而成，只要测出A'B'长就知道AB的长，用到的原理为全等三角形的哪个判定方法 ( )

A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA

答案： A