《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

1（山西晋中介休市期中）计算$x^{3}\cdot x^{4}$的结果是（ ）
A. $x^{7}$
B. $x^{12}$
C. $2x^{7}$
D. $2x^{12}$

答案： A

2 下列计算结果为$2^{7}$的是（ ）
A. $2^{7}\times2^{4}$
B. $(2^{3})^{2}$
C. $(2\times3)^{3}$
D. $2^{11}\div2^{4}$

答案： D

3（河南驻马店新蔡县阶段练习）我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方。在“$(a^{3}b)^{2}=(a^{3})^{2}b^{2}=a^{6}b^{2}$”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ①③④
D. ①②③④

答案： B

4 下列运算正确的是（ ）
A. $(a^{2})^{3}=a^{6}$
B. $a^{8}\div a^{2}=a^{4}$
C. $a^{2}\cdot a^{3}=a^{6}$
D. $(2ab)^{3}=6a^{3}b^{3}$

答案： A

5 已知$10^{x}=m$，$10^{y}=n$，则$10^{2x + 3y}=$（ ）
A. $2m + 3n$
B. $m^{2}+n^{2}$
C. $6mn$
D. $m^{2}n^{3}$

答案： D

6（河南郑州金水区期末）河南封丘有1 500多年的中草药金银花种植历史。金银花别名二花、双花，为我国名贵中药材，花粉粒多呈黄色球形，直径约为65微米（$\mu m$）。已知$1\ \mu m = 1\times10^{-6}m$，数据$65\mu m$用科学记数法表示为（ ）
A. $65\times10^{-6}\ m$
B. $6.5\times10^{-5}\ m$
C. $6.5\times10^{-4}\ m$
D. $6.5\times10^{-7}\ m$

答案： B

7 若$a = -0.3^{2}$，$b = -3^{-2}$，$c = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$，$d = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{0}$，则$a$，$b$，$c$，$d$的大小关系为（ ）
A. $a ＜ b ＜ c ＜ d$
B. $b ＞ d ＞ a ＞ c$
C. $a ＜ d ＜ c ＜ b$
D. $b ＜ a ＜ d ＜ c$

答案： D

8 新定义 新运算问题 如果$10^{b}=n$，那么$b$为$n$的“拉格数”，记为$d(n)$，由定义可知：$d(n)=b$。如$10^{2}=100$，则$d(100)=d(10^{2}) = 2$。给出下列关于“拉格数”$d(n)$的结论：①$d(10)=10$，②$d(10^{-2})=-2$，③$\dfrac{d(10^{3})}{d(10)} = 3$，④$d(mn)=d(m)+d(n)$，⑤$d\left(\dfrac{m}{n}\right)=d(m)\div d(n)$。其中，正确的结论有（ ）
A. ①③④
B. ②③④
C. ②③⑤
D. ②④⑤

答案： B

9 计算：$(-a)^{3}\cdot a^{2}\cdot (-a^{2})^{3}=$________。

答案： $a^{11}$

10 计算：$(-9)^{102}\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{103}\times(-1)^{107}=$________。

答案： $3^{101}$

11 当$x + 2y - 4 = 0$，则$4^{x}\times2^{2y - 2}$的值为________。

答案： 4

12 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中$1\ GB = 2^{10}\ MB$，$1\ MB = 2^{10}\ KB$，$1\ KB = 2^{10}\ B$。若某视频文件的大小约为2 GB，则$2\ GB =$________B。

答案： $2^{31}$

13（河南周口商水县阶段练习）若$x^{a}=3$，$x^{b}=8$，$x^{c}=72$，则$x^{a - b + c}$的值为________，$a$，$b$，$c$之间的数量关系为________。

答案： 27；$2a + b = c$

14 新趋势 规律探究题 观察下列等式：$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$3^{6}=729$，$3^{7}=2187$。解答下面问题：$3^{2017}-27\times3^{2021}$的末位数字是________。

答案： 8

15（12分）计算：
（1）$8^{2m + 3}\div8^{m}$；
（2）$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}+\left(2025 - \dfrac{\pi}{2}\right)^{0}-\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$；
（3）$(x - y)^{10}\div(y - x)^{5}\div(x - y)$；
（4）$(a^{m})^{n}\cdot (-a^{3m})^{2n}\div(a^{mn})^{5}-a^{2mn}$。

答案： 解：
(1)原式$= 8^{2m + 3 - m} = 8^{m + 3}$。
(2)原式$= -2 + 1 - 25 = -26$。
(3)原式$= (x - y)^{10} \div [-(x - y)]^5 \div (x - y) = -(x - y)^{10} \div (x - y)^5 \div (x - y) = -(x - y)^{10 - 5 - 1} = -(x - y)^4$。
(4)原式$= a^{mn} \cdot a^{6mn} \div a^{5mn} - a^{2mn} = a^{mn + 6mn - 5mn} - a^{2mn} = a^{2mn} - a^{2mn} = 0$。