《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

1（浙江湖州中考）计算$a^{3}\cdot a$的结果是 （ ）
A. $a^{2}$
B. $a^{3}$
C. $a^{4}$
D. $a^{5}$

答案： C

2 下列各项中，是同底数幂的是 （ ）
A. $x^{2}$与$a^{2}$
B. $(-a)^{2}$与$-a^{3}$
C. $(x - y)^{2}$与$(y - x)^{2}$
D. $-x^{2}$与$x$

答案： D

3 式子$a^{2}\cdot a^{3}$的运算结果与下列运算结果一致的是 （ ）
A. 3个$a^{2}$相乘
B. 6个$a$相乘
C. 5个$a$相乘
D. 2个$a^{3}$相乘

答案： C

4 下列计算正确的是 （ ）
A. $a^{m}\cdot a^{2}=a^{2m}$
B. $x^{5}\cdot x^{2}=2x^{5}$
C. $y^{2n}\cdot y^{n - 1}=y^{3n - 1}$
D. $x^{4}\cdot x^{2}\cdot x=x^{6}$

答案： C

5 新情境 科技进步 天宫空间站以$7.68×10^{3}$ m/s的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需$5×10^{3}$ s，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为________m。（结果用科学记数法表示）

答案： $3.84×10^{7}$

6 [教材P5T1 改编]计算：
(1)$-5^{11}×5^{3}$； (2)$(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})^{2}×(-\frac{1}{2})^{3}$；
(3)$m^{2n}\cdot m^{n + 1}\cdot m^{4}$； (4)$(-y)^{5}\cdot (-y)^{4}\cdot (-y)^{7}$。

答案： 解：
(1) 原式$=-5^{11 + 3}=-5^{14}$。
(2) 原式$=\left(-\frac{1}{2}\right)^{1 + 2+3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{64}$。
(3) 原式$=m^{2n + n+1 + 4}=m^{3n + 5}$。（底数不变，指数相加）
(4) 原式$=(-y)^{5 + 4+7}=(-y)^{16}$。

7 $x^{3m + 3}$可以写成 （ ）
A. $3x^{m + 1}$
B. $x^{3m}+x^{3}$
C. $x^{3}\cdot x^{m + 1}$
D. $x^{3m}\cdot x^{3}$

答案： D

8（四川德阳中考）已知$3^{x}=y$，则$3^{x + 1}=$ （ ）
A. $y$
B. $1 + y$
C. $3 + y$
D. $3y$

答案： D

9 若$2^{m}=3$，$2^{n}=6$（$m$，$n$为正数），则$2^{m + n}=$________。

答案： 18

10 如果$a^{2n - 1}\cdot a^{n + 5}=a^{16}$，那么$n$的值为 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： A

11 已知$m$为正奇数，$n$为正偶数，则下列各式的计算中正确的是 （ ）
A. $(-3)^{2}×(-3)^{m}=3^{m + 2}$
B. $(-2)^{3}×(-2)^{m}=-2^{m + 3}$
C. $(-4)^{4}×(-4)^{n}=-4^{n + 4}$
D. $(-5)^{5}×(-5)^{n}=-5^{n + 5}$

答案： D

12 已知$2^{a}=5$，$2^{b}=10$，$2^{c}=50$，那么$a$，$b$，$c$之间满足的等量关系是 （ ）
A. $ab = c$
B. $a + b = c$
C. $a:b:c = 1:2:10$
D. $a^{2}b^{2}=c^{2}$

答案： B

13（易错题）$(b - a)^{3}\cdot (a - b)^{4}=$________。

答案： $(b - a)^{7}$
解析：$(b - a)^{3}·(a - b)^{4}=(b - a)^{3}·(b - a)^{4}=(b - a)^{7}$。 易错点：注意底数$a - b$与$b - a$互为相反数，易因混淆$(b - a)^{n}$和$(a - b)^{n}$，不能根据$n$的奇偶性判断符号而出错。

14 若$3×3^{2m}×3^{3m}=3^{21}$，则$m$的值是________。
【变式】若$3^{x + 1}=243×81$，则$x=$________。

答案： 4@@8

15 新定义 新运算问题 我们知道，同底数幂的乘法法则为：$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$m$，$n$为正整数），类似地我们规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$h(m)\cdot h(n)=h(m + n)$，例如：$h(1)=3$，$h(2)=9$，则$h(1)\cdot h(2)=h(3)=27$，若$h(1)=k(k\neq0)$，那么$h(7)\cdot h(2025)=$________。（用含$k$的代数式表示）

答案： $k^{2032}$
解析：因为$h(m)·h(n)=h(m + n)$，所以$h(7)·h(2025)=h(7 + 2025)=h(2032)$。因为$h(1)=k$，所以$h(2)=h(1)·h(1)=k·k = k^{2}$，$h(3)=h(1)·h(2)=k·k^{2}=k^{3}$，$h(4)=h(1)·h(3)=k·k^{3}=k^{4}$，$\cdots$，所以$h(2032)=k^{2032}$。