《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

12 若(a + b)(p + q)能运用平方差公式计算，则p，q
满足的条件可能是 ( )
①p = a，q = b；②p = a，q = -b；
③p = -a，q = b；④p = -a，q = -b。
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④

答案： C

13 下列各数能整除2¹² - 1的是 ( )
A. 11
B. 23
C. 63
D. 64

答案： C

14 若(16 - xⁿ)=(2 + x)(2 - x)(4 + x²)，则n = ________。

答案： 4

15 如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，
则阴影部分的面积是________。

答案： 20

16 先化简，再求值：已知2a² + 3a - 2025 = 0，求代数
式6a(2a + 1)-2(2a + 1)(2a - 1)的值。

答案： 解：原式 = $12a^{2}+6a-2(4a^{2}-1)=12a^{2}+6a-8a^{2}+2=4a^{2}+6a + 2=2(2a^{2}+3a)+2$。当$2a^{2}+3a - 2025 = 0$时，$2a^{2}+3a = 2025$，所以原式 = $2×2025+2 = 4052$。 解题关键点：本题是一道整式化简求值的题目，求解本题的关键是将已知条件和待求部分联系起来。

17 新趋势 探究性问题 乘法公式的探究及应用。
如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b
(a＞b)的正方形，则余下的阴影部分面积等于
一个以(a + b)为长、(a - b)为宽的长方形面积，
如图2。

【探究】(1)请列式表示：图1中阴影部分的面
积为__________，图2中阴影部分的面积为
__________；根据两图中阴影部分面积相等，
可以得到乘法公式：__________。
【应用】(2)根据(1)中的公式解决如下问题：
①若a + b = 4，a - b = 2，则a² - b² = ________；
②计算：(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)…(2¹⁰²⁴ + 1)。

答案： 解： - （1）$a^{2}-b^{2}$ $(a + b)(a - b)$ $(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$ - （2）①8 提示：因为$a + b = 4$，$a - b = 2$，$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，所以$a^{2}-b^{2}=4×2 = 8$。 ②原式 = $(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\cdots(2^{1024}+1)=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\cdots(2^{1024}+1)=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\cdots(2^{1024}+1)=(2^{1024}-1)(2^{1024}+1)=2^{2048}-1$。（连续运用平方差公式）

18 新趋势 规律探究题 观察下列等式：
4×1 = 2² - 0²；
4×2 = 3² - 1²；
4×3 = 4² - 2²；
4×4 = 5² - 3²；
……
(1)请将2024写成两整数平方差的形式：
2024 = ________；
(2)用含有字母n(n≥1，且n为整数)的等式表
示这一规律是________，并用已学的知识验证
这一规律；
(3)相邻两个整数的平方差是4的倍数吗？请
说说你的理由。

答案： 解： - （1）$507^{2}-505^{2}$ 提示：由题意，得$2024 = 4×506 = 507^{2}-505^{2}$。 - （2）$4n=(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}$ 因为右边 = $(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}=(n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1)=2n×2 = 4n=$左边，所以$4n=(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}$。 - （3）不是4的倍数。理由如下： 设相邻的两个整数分别为$a$，$a + 1$。根据题意，得$(a + 1)^{2}-a^{2}=2a + 1$，化简结果为奇数，故不是4的倍数。