《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

15. 肥皂泡薄膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为$700nm$，已知$1nm = 10^{-9}m$，那么$700nm$用科学记数法表示为（ ）
A. $7×10^{-8}m$
B. $7×10^{-7}m$
C. $70×10^{-8}m$
D. $0.7×10^{-7}m$

答案： B

16. 计算$x^{5m + 3n + 1}\div (x^{n})^{2}\cdot (-x^{m})^{2}$的结果是（ ）
A. $-x^{7m + n + 1}$
B. $x^{7m + n + 1}$
C. $x^{7m - n + 1}$
D. $x^{3m + n + 1}$

答案： B

17. 如果$a = 99^{0}$，$b = (-0.1)^{-1}$，$c = (-\frac{5}{3})^{-2}$，那么$a$，$b$，$c$的大小关系为（ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $b ＜ a ＜ c$
C. $b ＜ c ＜ a$
D. $a ＜ b ＜ c$

答案： C

18. 已知$a - 2b - 3c = 2$，则$2^{a}\div 4^{b}×(\frac{1}{8})^{c}$的值是________。

答案： 4

19. 已知$3^{a}=4$，$81^{b}=16$，则$3^{3a - 4b}$等于________。

答案： 1

20. 计算：
（1）$x^{m}\cdot (x^{n})^{3}\div (x^{m - 1}\cdot x^{n - 1})$；
（2）$(-3a^{4})^{2}-a\cdot a^{3}\cdot a^{4}-a^{10}\div a^{2}$；
（3）$(\frac{2}{3})^{-2}×3^{-1}+(\pi - 2025)^{0}\div (\frac{1}{3})^{-1}$。

答案： 解： - （1）原式$=x^{m}\cdot x^{3n}\div x^{m - 1 + n - 1}=x^{m + 3n}\div x^{m + n - 2}=x^{2n + 2}$。 - （2）原式$=9a^{8}-a^{8}-a^{8}=7a^{8}$。 - （3）原式$=\frac{9}{4}\times\frac{1}{3}+1\div3=\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{13}{12}$。

21. 已知$3^{a}=2$，$3^{b}=4$，$3^{c}=12$，求$2a + c - 2b$的值。

答案： 解：因为$3^{a}=2$，$3^{b}=4$，$3^{c}=12$， 所以$3^{2a + c - 2b}=3^{2a}\times3^{c}\div3^{2b}=(3^{a})^{2}\times3^{c}\div(3^{b})^{2}=2^{2}\times12\div4^{2}=3$， 所以$2a + c - 2b = 1$。

22. 已知$(|x| - 2)^{x - 1}=1$，求整数$x$的值。
小张同学是这样做的：
因为$a^{0}=1(a\neq0)$，
所以$x - 1 = 0$且$|x| - 2\neq0$，所以$x = 1$。
你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数$x$的值。

答案： 解：小张同学的解答不完整。 完整解答如下： 因为$a^{0}=1(a\neq0)$， 所以$x - 1 = 0$且$\vert x\vert - 2\neq0$，所以$x = 1$。 因为$1^{n}=1$，所以$\vert x\vert - 2 = 1$，所以$x=\pm3$。 因为$(-1)^{2n}=1$（$n$为整数）， 所以$\vert x\vert - 2=-1$，且$x - 1 = 2n$（$n$为整数），所以$x=\pm1$。 综上所述，所有$x$的值为$\pm1$，$\pm3$。

23. 新定义 新运算问题 探究应用：用“$∪$”“$∩$”定义两种新运算：对于两数$a$，$b$，规定$a∪b = 10^{a}×10^{b}$，$a∩b = 10^{a}\div 10^{b}$。例如：$3∪2 = 10^{3}×10^{2}=10^{5}$，$3∩2 = 10^{3}\div 10^{2}=10$。
（1）求$1042∪983$的值；
（2）求$4103∩4100$的值；
（3）当$x$为何值时，$x∪5$的值与$23∩17$的值相等？

答案： 解： - （1）$1042\times983 = 10^{1042}\times10^{983}=10^{2025}$。 - （2）$4103\div4100 = 10^{4103}\div10^{4100}=10^{3}=1000$。 - （3）根据题意，得$x\times5 = 23\div17$，则$10^{x}\times10^{5}=10^{23}\div10^{17}$， 所以$10^{x + 5}=10^{6}$，即$x + 5 = 6$，解得$x = 1$。 【核心素养】本题考查了数学核心素养中的运算能力，解答的关键是对同底数幂的除法和乘法的运算性质的掌握与运用。