《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

13 (6分)图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC，要求：
(1)在图1中画一个直角三角形，在图2中画一个锐角三角形，在图3中画一个钝角三角形；
(2)点C在格点上。

答案：
解：如图，△ABC即为符合条件的三角形（答案不唯一）。

14 (8分)已知一个三角形的两条边长分别为4 cm，8 cm，设第三条边长为x cm。
(1)求x的取值范围；
(2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长。

答案： 解：
(1)根据三角形三边关系，得8 - 4x8 + 4，即4x12。
(2)因为三角形是等腰三角形，且4x12，所以第三边只能是8 cm，所以周长为4 + 8 + 8 = 20（cm）。

15 (8分)如图，在△ABC中，点D在边BC上。
(1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9，求AC的长。

答案： 解：
(1)因为∠1 = ∠2 = 35°，所以∠ADB = 180° - ∠1 - ∠2 = 110°，所以∠3 = 180° - ∠ADB = 70°，所以∠4 = ∠3 = 70°，所以∠DAC = 180° - ∠3 - ∠4 = 40°。
(2)因为AD为△ABC的中线，所以BD = CD。因为△ABD的周长比△ACD的周长大3，所以AB + AD + BD-(AC + AD + CD)=3，所以AB + AD + BD - AC - AD - CD = 3，所以AB - AC = 3。因为AB = 9，所以AC = 6。

16 (8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，∠B=70°，∠C=30°。
(1)求∠DAE的度数；
(2)探究：如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B -∠C=40°，能不能求出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由。

答案： 解：
(1)因为∠B = 70°，∠C = 30°，所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°。因为AE平分∠BAC，所以∠BAE = $\frac{1}{2}∠BAC = 40°$。因为AD⊥BC，所以∠ADB = 90°。所以∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 70° = 20°，所以∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 40° - 20° = 20°。
(2)能。解答如下：因为∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C。因为AE平分∠BAC，所以∠BAE = $\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180° - ∠B - ∠C)=90°-\frac{1}{2}(∠B + ∠C)$。因为AD⊥BC，所以∠ADB = 90°，所以∠BAD = 90° - ∠B，所以∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 90° - $\frac{1}{2}(∠B + ∠C)-(90° - ∠B)=\frac{1}{2}(∠B - ∠C)$。因为∠B - ∠C = 40°，所以∠DAE = $\frac{1}{2}\times40° = 20°$。

17 (10分) 新定义 新概念问题 定义：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形称为“和谐三角形”。例如，△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，则∠A和∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”。
(1)△ABC中，∠A=105°，∠B=50°，则△ABC________(填填“是”或“不是”)和谐三角形；
(2)若△ABC为和谐三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠C=30°，求∠A的度数；
(3)△ABC中，∠B=30°，高线AD交直线BC于点D，若△ABD和△ACD均为和谐三角形，请直接写出∠BAC的度数：________。

答案：
是@@15°或30°或90°或105°或120°@@解：
(1)因为△ABC中，∠A = 105°，∠B = 50°，所以∠C = 180° - 105° - 50° = 25°，所以∠B = 2∠C，所以△ABC是和谐三角形。
(2)分三种情况讨论：①设∠A和∠B互为“和谐角”，因为∠A＞∠B＞∠C，所以∠A = 2∠B。因为∠C = 30°，∠A + ∠B + ∠C = 180°，所以2∠B + ∠B + 30° = 180°，解得∠B = 50°，所以∠A = 100°；②设∠A和∠C互为“和谐角”，因为∠A＞∠B＞∠C，∠C = 30°，所以∠A = 2∠C = 60°，所以∠B = 180° - 60° - 30° = 90°，所以∠B＞∠A，不符合条件∠A＞∠B＞∠C，舍去；③设∠B和∠C互为“和谐角”，因为∠A＞∠B＞∠C，∠C = 30°，所以∠B = 2∠C = 60°，所以∠A = 180° - 60° - 30° = 90°。综上所述，∠A的度数为100°或90°。
(3)当AD在三角形内部时，如图，此时∠B = 30°，∠ADB = ∠ADC = 90°，∠BAD = 90° - ∠B = 60° = 2∠B，所以△ABD为和谐三角形，因为△ACD为和谐三角形，所以∠ADC = 2∠C或∠ADC = 2∠DAC或∠DAC = 2∠C或∠C = 2∠DAC。当∠ADC = 2∠C时，∠C = $\frac{1}{2}∠ADC = 45°$，∠DAC = 90° - ∠C = 45°，此时∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 45° = 105°；当∠ADC = 2∠DAC时，∠DAC = $\frac{1}{2}∠ADC = 45°$，此时∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 45° = 105°；当∠DAC = 2∠C时，由∠DAC + ∠C = 90°，得∠DAC = 60°，此时∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 60° = 120°；当∠C = 2∠DAC时，由∠DAC + ∠C = 90°，得∠DAC = 30°，此时∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 30° = 90°。当AD在三角形外部时，如图，此时∠B = 30°，∠ADB = 90°，∠BAD = 90° - ∠B = 60° = 2∠B，所以△ABD为和谐三角形。因为△ACD为和谐三角形，所以∠ADC = 2∠ACD或∠ADC = 2∠DAC或∠DAC = 2∠ACD或∠ACD = 2∠DAC。当∠ADC = 2∠ACD时，∠ACD = $\frac{1}{2}∠ADC = 45°$，∠DAC = 90° - ∠ACD = 45°，此时∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 45° = 15°；当∠ADC = 2∠DAC时，∠DAC = $\frac{1}{2}∠ADC = 45°$，此时∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 45° = 15°；当∠DAC = 2∠ACD时，由∠DAC + ∠ACD = 90°，得∠DAC = 60°，此时∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 60° = 0°，不合题意；当∠ACD = 2∠DAC时，由∠DAC + ∠ACD = 90°，得∠DAC = 30°，此时∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°。综上所述，∠BAC的度数为15°或30°或90°或105°或120°。