《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

1 如果$27^{x}\div81 = 3^{11}$，求$x$的值。

答案： 解：因为$27^{x}\div81 = 3^{11}$，所以$3^{3x}\div3^{4} = 3^{11}$，则$3^{3x - 4}=3^{11}$，所以$3x - 4 = 11$，解得$x = 5$。

2 已知$8\times2^{m}\div16^{m}=2^{6}$，求$m$的值。

答案： 解：$8\times2^{m}\div16^{m} = 2^{3}\times2^{m}\div(2^{4})^{m} = 2^{3}\times2^{m}\div2^{4m} = 2^{3 + m - 4m}=2^{3 - 3m}$，所以$2^{3 - 3m}=2^{6}$，即$3 - 3m = 6$，解得$m = -1$。

3 计算$(\frac{5}{7})^{135}\times(\frac{7}{5})^{136}\times(-1)^{137}$的结果是 （ ）
A. $\frac{5}{7}$
B. $\frac{7}{5}$
C. $-\frac{5}{7}$
D. $-\frac{7}{5}$

答案： D

4 用简便方法计算：
(1)$0.25^{6}\times2^{12}-(\frac{1}{3})^{4}\times(-3)^{5}$；
(2)$(-\frac{1}{10})^{1000}\times(-10)^{1001}\times(\frac{4}{15})^{357}\times(-3\frac{3}{4})^{358}$。

答案： 解：
(1)原式 = $0.25^{6}\times(2^{2})^{6} - (\frac{1}{3})^{4}\times(-3)^{4}\times(-3)$ $=(0.25\times4)^{6} - [(\frac{1}{3})\times(-3)]^{4}\times(-3)=1 - 1\times(-3)=4$。
(2)原式 = $(-\frac{1}{10})^{1000}\times(-10)^{1000}\times(-10)\times(\frac{4}{15})^{357}\times(-\frac{15}{4})^{357}\times(-\frac{15}{4})$ $=[(-\frac{1}{10})\times(-10)]^{1000}\times(-10)\times[(\frac{4}{15})\times(-\frac{15}{4})]^{357}\times(-\frac{15}{4})$ $=1\times(-10)\times(-1)\times(-\frac{15}{4})= -\frac{75}{2}$。

5 已知$10^{a}=3,10^{b}=2$，求$10^{2a - b + 1}$的值。

答案： 解：$10^{2a - b + 1}=10^{2a}\div10^{b}\times10=(10^{a})^{2}\div10^{b}\times10 = 3^{2}\div2\times10 = 45$。

6 若$n$为正整数，且$x^{2n}=7$，求$(3x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}$的值。

答案： 解：$(3x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n} = 9x^{6n} - 13x^{4n} = 9(x^{2n})^{3} - 13(x^{2n})^{2} = 9\times7^{3} - 13\times7^{2} = 2450$。

7 若$a^{m}=a^{n}(a＞0,a\neq1,m,n$都是正整数$)$，则$m = n$。
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果$2^{x}\times2^{3}=2^{5}$，求$x$的值；
(2)如果$2\div8^{x}\times16^{x}=2^{5}$，求$x$的值；
(3)若$x = 5^{m}-2,y = 3 - 25^{m}$，用含$x$的代数式表示$y$。

答案： 解：
(1)因为$2^{x}\times2^{3} = 2^{x + 3}=2^{5}$，所以$x + 3 = 5$，所以$x = 2$。
(2)因为$2\div8^{x}\times16^{x} = 2^{5}$，所以$2\div2^{3x}\times2^{4x} = 2^{5}$， 所以$2^{1 - 3x + 4x}=2^{1 + x}=2^{5}$，所以$1 + x = 5$，所以$x = 4$。
(3)因为$x = 5^{m} - 2$，所以$5^{m} = x + 2$。 因为$25^{m} = 5^{2m}=(5^{m})^{2}$，所以$y = 3 - 25^{m} = 3 - (5^{m})^{2} = 3 - (x + 2)^{2}$。