《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

8 已知$a = 2^{40},b = 3^{32},c = 4^{24}$，则$a,b,c$的大小关系为 （ ）
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $a ＜ c ＜ b$
C. $b ＜ a ＜ c$
D. $c ＜ b ＜ a$

答案： B

9 (河南周口商水县期中)已知$a = 16^{31},b = 8^{41},c = 4^{61}$，则$a,b,c$的大小关系是________。(用“＜”连接)

答案： $c ＜ b ＜ a$

10 新趋势 过程性学习 设$m = 2^{100},n = 3^{75}$，为了比较$m$与$n$的大小，小明想到了如下方法：$m = 2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，即25个16相乘的积；$n = 3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，即25个27相乘的积，显然$m ＜ n$。现在设$x = 4^{30},y = 3^{40}$，请你用小明的方法比较$x$与$y$的大小。

答案：

11 新定义 新运算问题 规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$，如果$a^{m}=b$，则$(a,b)=m$，我们称$(a,b)$为“雅对”，例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$。依据“雅对”定义计算$(5,125)+(\frac{1}{4},\frac{1}{16})$的结果是________。

答案： 5

12 我们规定一个新数$i$，使其满足$i^{2}=-1$，并且进一步规定：一切有理数可以与新数$i$进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有$i^{1}=i,i^{2}=-1,i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i,i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1\cdots\cdots$那么$i + i^{2}+i^{3}+\cdots + i^{2024}+i^{2025}=$________。

答案： $i$

13 若$3^{x}$的个位数字是9，则$9^{2025x}$的个位数字是多少？

答案： 解：$9^{2025x}=(3^{2})^{2025x} = 3^{4050x}=(3^{x})^{4050}$。 因为$3^{x}$的个位数字是9，所以$(3^{x})^{2}$的个位数字是1， 所以$(3^{x})^{4050}$的个位数字是1，即$9^{2025x}$的个位数字是1。

14 $81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除吗？请说明理由。

答案： 解：$81^{7} - 27^{9} - 9^{13}$能被45整除。理由如下： $81^{7} - 27^{9} - 9^{13}=(3^{4})^{7} - (3^{3})^{9} - (3^{2})^{13} = 3^{28} - 3^{27} - 3^{26} = 3^{26}\times(9 - 3 - 1)$ $=3^{26}\times5 = 3^{24}\times45$，所以$81^{7} - 27^{9} - 9^{13}$能被45整除。

15 (河南南阳宛城区校级阶段练习)已知$3^{x}=2,3^{2y}=18,3^{z}=6$，试探索$x,y,z$之间的数量关系，并说明理由。

答案： 解：$x + 2y = 2z$。理由如下： 因为$3^{x} = 2$，$3^{2y} = 18$，$3^{z} = 6$，所以$3^{x}\times3^{2y} = 3^{x}\times3^{z}$， 所以$3^{x + 2y}=3^{2z}$，所以$x + 2y = 2z$。

16 新趋势 规律探究题 观察下列等式：
$1^{3}+2^{3}=(1 + 2)^{2}=9$，
$1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1 + 2 + 3)^{2}=36$，
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1 + 2 + 3 + 4)^{2}=100$。
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=$________；(写出最后结果)
(2)已知$1 + 2 + 3+\cdots + n=\frac{1}{2}n(n + 1)$，根据上述等式中所体现的规律，猜想：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots + n^{3}=$________；(结果用因式乘积表示)
(3)计算：$3^{3}+6^{3}+9^{3}+12^{3}$。

答案： 解：
(1)$225$ 提示：由题意，得$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3}=(1 + 2 + 3 + 4 + 5)^{2} = 225$。
(2)$(\frac{1}{4})n^{2}(n + 1)^{2}$ 提示：$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3}=(1 + 2 + 3 + \cdots + n)^{2} = [(\frac{1}{2})n(n + 1)]^{2}=(\frac{1}{4})n^{2}(n + 1)^{2}$。
(3)$3^{3} + 6^{3} + 9^{3} + 12^{3} = 1^{3}\times3^{3} + 2^{3}\times3^{3} + 3^{3}\times3^{3} + 4^{3}\times3^{3} = 3^{3}\times(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3})=3^{3}\times(1 + 2 + 3 + 4)^{2} = 2700$。