《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

典例1 如图，AB = DE，AB//DE，BE = CF。
试说明：AC = DF。

学霸说 平移模型中的两个三角形通过平移可完全重合，常见的平移模型如下图：

本题要说明AC = DF，可考虑说明它们所在的三角形全等，即说明△ABC≌______，根据已知条件可利用SAS判定两三角形全等，从而得到AC = DF。

答案：

因为BE = CF，所以BE + CE = CF + CE，即BC = EF。 因为AB//DE，所以∠B = ∠DEF。 在△ABC和△DEF中，因为AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF，所以△ABC≌△DEF，所以AC = DF。

变式训练
1 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD = CE，AB//DF，AB = DF。
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）连接CF，若∠BCF = 54°，∠DFC = 20°，求∠DFE的度数。

答案： 解：
(1)因为AB//DF，所以∠A = ∠EDF。 因为AD = CE，所以AD + CD = CE + CD，即AC = DE。 在△ABC和△DFE中，因为AB = DF，∠A = ∠FDE，AC = DE，所以△ABC≌△DFE。（对应边：加（减）公共线段得相等线段）
(2)因为△ABC≌△DFE，所以∠ACB = ∠E，所以BC//FE，所以∠CFE = ∠BCF = 54°，所以∠DFE = ∠DFC + ∠CFE = 20° + 54° = 74°。

典例2 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC = ED。
试说明：CE = DB。

学霸说 对称模型中的两个三角形沿某直线折叠可完全重合。对称模型有公共边模型，公共角模型，对顶角模型等。常见的对称模型如下图：

本题由AAS易得△ABC≌______，从而得到AB = ______，AC = ______，进而得到CE = DB。

答案：

因为ED⊥AB，所以∠ADE = ∠ACB = 90°。 在△ABC和△AED中，因为∠A = ∠A，∠ACB = ∠ADE，BC = ED，所以△ABC≌△AED，所以AB = AE，AC = AD，所以AE - AC = AB - AD，即CE = DB。

变式训练
2 如图，∠C = ∠D，AC = BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE。
（1）试说明：△AOC≌△BOD；
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由。

答案： 解：
(1)在△AOC和△BOD中，因为∠AOC = ∠BOD，∠C = ∠D，AC = BD，所以△AOC≌△BOD。
(2)OE⊥AB。理由如下： 因为△AOC≌△BOD，所以AO = BO。 因为点E是AB中点，所以AE = BE。 在△AOE和△BOE中，因为AO = BO，AE = BE，OE = OE，所以△AOE≌△BOE，所以∠AEO = ∠BEO = 90°，所以OE⊥AB。