《2025年初中学霸创新题七年级数学下册北师大版》

5 新趋势 探究性问题 (1)方法呈现
如图1，在△ABC中，若AB = 6，AC = 4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围。
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE = AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________(直接写出范围即可)。这种解决问题的方法我们称为倍长中线法。
(2)探究应用
如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于F，连接EF，判断BE + CF与EF的大小关系并说明理由；
(3)问题拓展
如图3，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，如果AB = AF + CF，那么∠FAE = ∠BAE吗？请说明理由。

答案：
1AD5@@解：
(1)1AD5 因为D是BC的中点，所以CD = BD， 因为∠ADC = ∠BDE，AD = ED， 所以△ACD≌△EBD，所以BE = AC = 4。 在△ABE中，AB - BEAEAB + BE， 所以6 - 4AE6 + 4，所以2AE10，→三角形的三边关系。 所以1AD5。
(2)BE + CF＞EF。理由如下： 延长FD至点M，使DM = DF， 连接BM，EM，如图所示。由
(1)得，△BMD≌△CFD，所以BM = CF。 因为DE⊥DF，所以∠MDE = ∠FDE = 90°，又因为DE = DE，DM = DF，所以△MDE≌△FDE，所以EM = EF。 在△BME中，由三角形的三边关系，得BE + BM＞EM， 所以BE + CF＞EF。
(3)如图，延长AE，DF交于点G， 因为AB//CD，所以∠BAG = ∠G。 在△ABE和△GCE中， 因为CE = BE，∠BAG = ∠G，∠AEB = ∠GEC， 所以△ABE≌△GCE，所以CG = AB，AE = GE。 因为AB = AF + CF，CG = CF + FG， 所以AF = FG。 连接FE，在△AFE和△GFE中， 因为AF = GF，FE = FE，AE = GE， 所以△AFE≌△GFE，所以∠FAE = ∠G， 所以∠FAE = ∠BAE。

典例3 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任意一点(不与点A，D重合)。试说明：AB - AC＞PB - PC。
学霸说 “截长补短”适用于说明线段的和、差等问题，一般是截取较长线段或是延长较短线段，使其与特定线段相等。本题在AB上截取AN = ______或延长AC到点M使AM = ______，再利用全等三角形的性质求解。
【规范解答】

答案：
AC@@AB
@@截长法：如下页图1，在AB上截取AN = AC，连接PN。 在△APN和△APC中，因为AN = AC，∠1 = ∠2，AP = AP， 所以△APN≌△APC，所以PN = PC。 在△BPN中，PB - PNBN，所以PB - PCAB - AN， 所以AB - AC＞PB - PC。 补短法：如图2，延长AC至点M，使AM = AB，连接PM。 在△ABP和△AMP中，因为AB = AM，∠1 = ∠2，AP = AP， 所以△ABP≌△AMP，所以PB = PM。 在△PCM中，CM＞PM - PC，所以AM - AC＞PB - PC， 所以AB - AC＞PB - PC。→等量代换。

6 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，试说明：BC = AB + CD。

答案：
解：如图，在BC上取点F，使BF = BA，连接EF。因为BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。 在△ABE和△FBE中，因为AB = FB，∠1 = ∠2，BE = BE， 所以△ABE≌△FBE，所以∠A = ∠5。 因为AB//CD，所以∠A + ∠D = 180°，所以∠5 + ∠D = 180°。 因为∠5 + ∠6 = 180°，所以∠6 = ∠D。 在△CDE和△CFE中，因为∠6 = ∠D，∠3 = ∠4，CE = CE， 所以△CDE≌△CFE，所以CD = CF。 因为BC = BF + CF，所以BC = AB + CD。