《2025年伴你学九年级数学下册苏科版》

如图5 - 12，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图像与$x$轴的一个交点坐标是$(-2,0)$，顶点坐标是$(1,3)$.
(1)观察图像，写出图像所反映的二次函数的有关信息；
(2)怎样平移二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图像，可以使顶点坐标为$(3,6)$？
(3)若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围.

答案： 活动一：
(1) 该二次函数表达式为 $ y = -\frac{1}{3}(x - 1)^2 + 3 $；图像与 $ x $ 轴交于点 $ (-2,0) $、$ (4,0) $；当 $ -2 ＜ x ＜ 4 $ 时，$ y ＞ 0 $ 等
(2) 沿着 $ x $ 轴方向先向右平移 2 个单位长度，再沿着 $ y $ 轴方向向上平移 3 个单位长度
(3) $ k ＜ 3 $

如图5 - 13，二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1)求该二次函数的表达式及顶点$D$的坐标；
(2)判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(3)$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，求：当$CM + DM$的值最小时，$m$的值.

答案： 活动二：
(1) 抛物线相应的函数表达式为 $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 $，顶点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{3}{2}, -\frac{25}{8}) $
(2) $ OA = 1 $，$ OB = 4 $，$ OC = 2 $，$ AB = 5 $，$ AB^2 = 25 $，$ AC^2 = OA^2 + OC^2 = 5 $，$ BC^2 = OC^2 + OB^2 = 20 $，$ \therefore AC^2 + BC^2 = AB^2 $。$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形
(3) 画出点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ C' $，则点 $ C' $ 的坐标为 $ (0,2) $，$ OC' = 2 $，连接 $ C'D $，交 $ x $ 轴与点 $ M $。由点 $ C' $、$ D $ 的坐标可求出直线 $ C'D $ 相应的函数表达式为 $ y = -\frac{41}{12}x + 2 $，所以点 $ M $ 的坐标为 $ (\frac{24}{41},0) $。所以 $ m = \frac{24}{41} $