《2025年伴你学九年级数学下册苏科版》

1. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积之比为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的短边为x m.
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m²，求此时x的值.
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大? 最大值为多少?

答案：

(1) 如图。$\because BC = x$，矩形 $CDEF$ 的面积是矩形 $BCFA$ 面积的 2 倍，$\therefore CD = 2x$。$\therefore BD = 3x$，$AB = CF = DE=\frac{1}{3}(24 - BD)=8 - x$。根据题意，得 $3x(8 - x)=36$。解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 6$（不合题意，舍去）。此时 $x$ 的值为 $2\ m$
(2) 设矩形养殖场的总面积为 $S$，由
(1) 得 $S = 3x(8 - x)=-3(x - 4)^2+48$。$\because$ 墙的长度为 $10\ m$，$\therefore0＜3x\leqslant10$。$\therefore0＜x\leqslant\frac{10}{3}$。$\because - 3＜0$，$\therefore x＜4$ 时，$S$ 随着 $x$ 的增大而增大。$\therefore$ 当 $x=\frac{10}{3}$ 时，$S$ 取最大值，最大值为 $-3\times(\frac{10}{3}-4)^2+48=\frac{140}{3}(m^2)$。当 $x=\frac{10}{3}$ 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 $\frac{140}{3}m^2$

2. 某校数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)第几天的销售利润最大? 最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中，日销售利润不低于4 800元的共有多少天? 请直接写出结果.

答案：
(1) 当 $1\leqslant x＜50$ 时，$y=(200 - 2x)(x + 40 - 30)=-2x^2+180x + 2000$；当 $50\leqslant x\leqslant90$ 时，$y=(200 - 2x)(90 - 30)=-120x + 12000$。综上所述：$y=\begin{cases}-2x^2+180x + 2000(1\leqslant x＜50)\\-120x + 12000(50\leqslant x\leqslant90)\end{cases}$
(2) 当 $1\leqslant x＜50$ 时，二次函数的图像开口向下；当 $x = 45$ 时，$y_{最大值}=6050$；当 $50\leqslant x\leqslant90$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x = 50$ 时，$y_{最大值}=6000$。综上所述，该商品在第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元
(3) 当 $20\leqslant x\leqslant60$ 时，即共有 41 天，每天销售利润不低于 4800 元