《2025年伴你学九年级数学下册苏科版》

1. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后新产品的研发资金每月与上月相比增长率都是x，该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为y = ________.

答案： $a(1 + x)^2$

2. 如图，在Rt△ABC中，AC = BC = 2，正方形CDEF的顶点D、F分别在边AC、BC上，C、D两点不重合.设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，在下列图像中，能表示y与x之间的函数关系的是( ).

答案： A

3. 如图，把一张长为12 cm、宽为8 cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).设剪去的小正方形的边长为x cm.
(1)当剪去的小正方形的边长为多少时，折成的长方体盒子的底面积是60 cm²?
(2)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值.若有，求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由.

答案：
(1) 由题意，得 $(12 - 2x)(8 - 2x)=60$。解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 9$（不合题意，舍去）
(2) 设长方体盒子的侧面积是 $S\ cm^2$，则 $S = 2[(12 - 2x)x+(8 - 2x)x]$，即 $S=-8(x-\frac{5}{2})^2+50$。当 $x=\frac{5}{2}$ 时，$S$ 的值最大，最大值是 50

4. 某企业设计了一款工艺品，每件成本为50元，为了合理定价，现投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，则每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.
(2)销售单价为多少元时，每天的销售利润最大? 最大利润是多少?
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，且每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价应控制在什么范围内? (每天的总成本 = 每件的成本×每天的销售量)

答案：
(1) $y=-5x^2 + 800x-27500(50\leqslant x\leqslant100)$
(2) 当 $x = 80$ 时，$y_{最大值}=4500$
(3) 销售单价 $x$ 满足 $82\leqslant x\leqslant90$