《2025年伴你学九年级数学下册苏科版》

1. 若函数$y = kx^{2}-6x + 3$的图像与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是( )
A. $k ＜ 3$ B. $k ＜ 3$且$k\neq0$
C. $k\leqslant3$ D. $k\leqslant3$且$k\neq0$

答案： C

2. 已知二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的部分图像如图所示，求关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+2x + m = 0$的解.
　

答案： $x_{1}=-1$，$x_{2}=3$

3. 如图，已知二次函数$y = a(x - 1)^{2}+h$的图像与$x$轴交于点$A(-2,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C(0,4)$.
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 点$E$是线段$BC$的中点，连接$AE$并延长与抛物线交于点$D$，求点$D$的坐标.
　　　

答案：
(1) $\because$ 二次函数$y = a(x - 1)^{2}+h$的图像与$x$轴交于点$A(-2,0)$，与$y$轴交于点$C(0,4)$，$\therefore\begin{cases}a(-2 - 1)^{2}+h = 0,\\a(0 - 1)^{2}+h = 4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\h=\frac{9}{2}.\end{cases}$ $\therefore$ 该二次函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$
(2) 令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 4 = 0$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$. $\therefore$ 点$B$的坐标为$(4,0)$. $\because E$是$BC$的中点，$\therefore$ 点$E$的坐标为$(2,2)$. 设直线$AE$相应的函数表达式为$y = mx + n$，则$\begin{cases}-2m + n = 0,\\2m + n = 2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\\n = 1.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AE$相应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x + 1$. 联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x + 1,\\y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 3,\\y=\frac{5}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y = 0.\end{cases}$ $\therefore$ 点$D$的坐标为$(3,\frac{5}{2})$