《2025年伴你学九年级数学下册苏科版》

一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$与二次函数$y = x^{2}-2x - 3$有哪些联系？

答案： 略

请你在图5 - 6中画出二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像. 图像上是否有一些特殊的点与一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的根之间有某种联系？你有什么发现？
　　　　　　　　　　　

答案： 图略.二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像与$x$轴有两个公共点$(-1,0)$、$(3,0)$，那么一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，即二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像与$x$轴的公共点的横坐标即为一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的根

1. 观察课本图5 - 10，直接说出方程$-\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6 = 0$、$x^{2}-6x + 9 = 0$和$x^{2}-2x + 3 = 0$的解的情况. 写出函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6$、$y = x^{2}-6x + 9$、$y = x^{2}-2x + 3$的图像与$x$轴的公共点的坐标，它们与$x$轴的公共点各有几个？它们与方程的根有何关系？
2. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根有何关系？你能由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况说出二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴的位置关系吗？

答案： 1.略 2.一般地，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根有如下关系:如果二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴有两个公共点，那么一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个不相等的实数根;如果二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个相等的实数根;如果二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴没有公共点，那么一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$没有实数根.反过来，由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况，可以知道二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴的位置关系