《2025年评优监测课时作业七年级数学上册苏科版》

10. 如图，线段$AB$被点$C$、$D$分成$2:3:4$三部分，$M$为$AC$的中点，$N$为$BD$的中点，且$MN = 2.4$，求$AB$的长.

答案： 设线段$AC=2x$，$CD=3x$，$DB=4x$，则$AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x$。
因为$M$为$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2x=x$。
因为$N$为$BD$的中点，所以$DN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4x=2x$。
由点的顺序$A-M-C-D-N-B$，可得$MN=MC+CD+DN$，即$MN=x+3x+2x=6x$。
已知$MN=2.4$，则$6x=2.4$，解得$x=0.4$。
所以$AB=9x=9×0.4=3.6$。
答：$AB$的长为$3.6$。

11. 如图，点$C$为线段$AB$上一点，线段$AC$与$CB$的长度之比为$3:4$，$D$为线段$AC$的中点.
(1)若$AB = 28$，求$BD$的长；
(2)画出线段$BD$的中点$E$，若$CE = 5$，求$AB$的长.

答案：
(1)
因为$AC:CB = 3:4$，$AB=AC + CB = 28$，所以$AC=\frac{3}{3 + 4}×28=12$，$CB=\frac{4}{3+4}×28 = 16$。
因为$D$为$AC$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC = 6$。
则$BD=AB - AD=28 - 6=22$。
(2)
设$AC = 3x$，$CB = 4x$，则$AB=7x$，因为$D$为$AC$中点，所以$AD=\frac{3}{2}x$。
$BD=AB - AD=7x-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}x$。
因为$E$为$BD$中点，所以$DE=\frac{1}{2}BD=\frac{11}{4}x$。
$AE=AD + DE=\frac{3}{2}x+\frac{11}{4}x=\frac{6 + 11}{4}x=\frac{17}{4}x$。
$CE=AE - AC=\frac{17}{4}x-3x=\frac{17x - 12x}{4}=\frac{5}{4}x$。
因为$CE = 5$，所以$\frac{5}{4}x=5$，解得$x = 4$。
则$AB=7x=28$。
综上，
(1) $BD$的长为$22$；
(2) $AB$的长为$28$。

12. 如图，点$C$在线段$AB$上，$AC = 8 cm$，$CB = 6 cm$，点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点.
(1)求线段$MN$的长；
(2)若$C$为线段$AB$上任一点，满足$AC + CB = a cm$，其他条件不变，你能猜想$MN$的长度吗？并说明理由；
(3)若$C$在线段$AB$的延长线上，且满足$AC - BC = b cm$，$M$，$N$分别为$AC$，$BC$的中点，你能猜想$MN$的长度吗？并说明理由；

答案：
(1)
∵M是AC中点，AC=8cm，
∴MC=AC/2=4cm。
∵N是BC中点，CB=6cm，
∴CN=CB/2=3cm。
∴MN=MC+CN=4+3=7cm。
(2)MN=a/2 cm。理由：
∵M是AC中点，
∴MC=AC/2；N是BC中点，
∴CN=BC/2。
∴MN=MC+CN=AC/2+BC/2=(AC+BC)/2=a/2 cm。
(3)MN=b/2 cm。理由：
∵M是AC中点，
∴MC=AC/2；N是BC中点，
∴CN=BC/2。
∴MN=MC-CN=AC/2-BC/2=(AC-BC)/2=b/2 cm。