《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

8. 用公式法解下列方程：
(1) $2x(x+\sqrt{2})+1 = 0$；
(2) $4x^{2}-3x - 5 = x - 2$；
(3) $3x^{2}-(x + 2)^{2}+2x = 0$.

答案： $8.(1)x_{1}=x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$(2)x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}$
$(3)x_{1}=2,x_{2}=-1$

9. (2023·承德县期末)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}-nx + 1 = 0$.
(1) 当 $n = m + 2$ 时，不解方程，判断方程根的情况；
(2) 在(1)的条件下，若 $m = 2$，求解这个方程.

答案： 9.解：
(1)把n=m+2代入方程，得$mx^{2}-(m+2)x+1=0.$
因为$\Delta=[-(m+2)]^{2}-4m=m^{2}+4m+4-4m=m^{2}+4＞0，$
所以方程有两个不等的实数根.
(2)当m=2时，方程为$2x^{2}-4x+1=0.$
解得$x_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2},x_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}.$

10. 如图，四边形 $ACDE$ 是证明勾股定理时用到的一个图形，$a$，$b$，$c$ 是 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle BED$ 的三边长，易知 $AE=\sqrt{2}c$，这时我们把形如 $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

(1) 求证：关于 $x$ 的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 必有实数根；
(2) 若 $x = - 1$ 是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 的一个根，且四边形 $ACDE$ 的周长是 $6\sqrt{2}$. 求$\triangle ABC$ 的面积.

答案： 10.
(1)证明：由题意，得$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab.\because a^{2}+b^{2}=c^{2}，$$\therefore2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq0，$即$\Delta\geq0.\therefore$关于x的“勾系一元二次方程$”ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(2)解：当x=-1时，有$a-\sqrt{2}c+b=0，$即$a+b=\sqrt{2}c.$
$2a+2b+\sqrt{2}c=6\sqrt{2}，$即$2(a+b)+\sqrt{2}c=6\sqrt{2}，$
$\therefore3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}.\therefore c=2.\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}=4,a+b=2\sqrt{2}.$
$\because(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}，$$\therefore ab=2.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=1.$