《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

5. 阅读下面的材料：
解方程 $x^{4}-7x^{2}+12 = 0$，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 $x^{2}=y$，则 $x^{4}=y^{2}$。
$\therefore$ 原方程可化为 $y^{2}-7y + 12 = 0$。
$\because a = 1$，$b=-7$，$c = 12$，
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×12 = 1$。
$\therefore y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2}$。
解得 $y_{1}=3$，$y_{2}=4$。
当 $y = 3$ 时，$x^{2}=3$，$x=\pm\sqrt{3}$。
当 $y = 4$ 时，$x^{2}=4$，$x=\pm2$。
$\therefore$ 原方程有四个根：$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$，$x_{3}=2$，$x_{4}=-2$。
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想。请你运用上述方法解答下列问题：
(1)解方程：$(x^{2}+x)^{2}-6(x^{2}+x)+5 = 0$；
(2)已知实数 $a$，$b$ 满足 $(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-10 = 0$，试求 $a^{2}+b^{2}$ 的值。

答案： 5. 解：
(1)设$y = x^2 + x$,则原方程整理为$y^2 - 6y + 5 = 0$,$\therefore (y - 1)(y - 5) = 0$. 解得$y_1 = 1$,$y_2 = 5$.
当$y = x^2 + x = 1$,即$x^2 + x - 1 = 0$时,解得$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
当$y = x^2 + x = 5$,即$x^2 + x - 5 = 0$时,解得$x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$. 综上所述,原方程的解为$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$,$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$,$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$,$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$.
(2)设$x = a^2 + b^2$,则原方程化为$x^2 - 3x - 10 = 0$,且$x ＞ 0$.
$\therefore (x - 5)(x + 2) = 0$. 解得$x_1 = 5$,$x_2 = -2$(舍去). 故$a^2 + b^2 = 5$.

6. 用合适的方法解一元二次方程：
(1)$9(x - 1)^{2}=5$；
(2)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=2$；
(3)$x(x + 1)-3x - 3 = 0$；
(4)$(x - 2)(1 - 3x)=6$。

答案： 6.
(1)$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{3}$,$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{3}$
(2)$x_1 = \sqrt{5}$,$x_2 = -\sqrt{5}$
(3)$x_1 = -1$,$x_2 = 3$
(4)原方程无实数根