《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+3x + k^{2}-1 = 0$ 的一个根为 $0$，则 $k$ 的值为(C)

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$1$ 或 $-1$

答案： 10.C

11. 《九章算术》中有这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长、短、横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出。问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短。横放，竿比门宽长出 $4$ 尺；竖放，竿比门高长出 $2$ 尺；斜放，竿长与门对角线长恰好相等。问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为 $x$ 尺，则可列方程为(A)

A.$x^{2}=(x - 4)^{2}+(x - 2)^{2}$
B.$2x^{2}=(x - 4)^{2}+(x - 2)^{2}$
C.$x^{2}=4^{2}+(x - 2)^{2}$
D.$x^{2}=(x - 4)^{2}+2^{2}$

答案： 11.A

12. 已知 $a$ 是方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $a^{3}+2a^{2}+2021$ 的值是2022。

答案： 12.2022

13. 根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1) 如果一个直角三角形的两条直角边长之和为 $14$ cm，面积为 $24$ $cm^{2}$，求它的两条直角边的长；
(2) 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排 $28$ 场比赛。求参赛的足球队个数。

答案： 13.解：
(1)设该直角三角形的一直角边长为x cm，则另一直角边长为(14 - x)cm，根据题意，得$\frac{1}{2}x·(14 - x)=24。$整理化简，得x² - 14x + 48=0。
(2)设参赛的足球队有x个，根据题意，得$\frac{x(x - 1)}{2}=28。$整理化简，得x² - x - 56=0。

14. 已知关于 $x$ 的方程 $(2k + 1)x^{2}-4kx + k - 1 = 0$。问：
(1) $k$ 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2) $k$ 为何值时，此方程是一元二次方程？

答案： $14.(1)k = -\frac{1}{2} (2)k≠-\frac{1}{2}$

15. 在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考。试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
已知 $a$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2k + 1)x + 4 = 0$ 及 $3x^{2}-(6k - 1)x + 8 = 0$ 的公共解，求 $a$ 和 $k$ 的值。

答案： 15.解：
∵a是这两个方程的公共根，
∴$\begin{cases}a²-(2k + 1)a + 4=0,①\\3a²-(6k - 1)a + 8=0,②\end{cases}$
由①×3 - ②，得a = 1。
将a = 1代入①，得1-(2k + 1)+4=0，解得k = 2。
∴a的值为1，k的值为2。